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Les fractales

Concocté par Karl Sarnow, ce dossier est consacré aux fractales et comporte entre autres une foule de bons conseils sur l’utilisation du logiciel permettant de créer des fractales.

Vous pouvez télécharger l’entièreté du dossier au format pdf.

Contexte
Intérêt pédagogique
Modules d’enseignement
Rapport des étudiants
Ressources
Activités

Personnes
Imprimés


Contexte

Une fractale est un objet mathématique se caractérisant par une propriété d’autosimilitude dans une représentation visuelle.  Le terme « fractal » fut inventé en 1975 par Benoît Mandelbrot, du latin “fractus” signifiant "brisé". Le terme “fractal” était utilisé non seulement en raison de l’aspect fractionné de l’objet mais également à cause d’un étrange phénomène selon lequel les objets ont une dimension qui n’est pas un nombre entier mais une fraction. Avant que Mandelbrot ne trouve ce terme, de telles structures (le flocon de Koch par exemple) étaient désignées sous le nom commun de “courbes monstrueuses ».
Pour en savoir plus :
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal (en anglais)
http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal (en allemand)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractal (en français)

Intérêt pédagogique

Nombre d’objets naturels présentent un aspect pouvant être décrit mathématiquement en termes de fractales. La beauté des objets calculés est à ce point dominante qu’il est facile d’inciter les étudiants à s’intéresser aux nombres complexes, aux langages formels ou encore aux fonctions vectorielles en fonction du type de fractales à utiliser. D’autres informations dans ce dossier sur les trois types de fractales que voici :
• Les fractales hors du temps
• Les systèmes de Lindenmayer (L-systèmes)
• Les systèmes itérés de fonctions (SIF)
Chaque type de fractale ouvre la voie à un sujet différent dans le domaine des mathématiques ; l’un d’entre eux convient même aux cours d’informatique dans l’enseignement secondaire inférieur.

Modules d’enseignement

http://www.schulen.duesseldorf.de/gy-scharnhorststr/fach/chaos/chaos.htm
Dans ce dossier, les auteurs considèrent la dynamique de Verhulst (équation logistique) comme un exemple illustrant certains aspects caractéristiques de la dynamique non-linéaire. Cette ressource s’adresse aux élèves de 14 à 16 ans. Certaines parties du document téléchargeable sont en anglais.

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/index.htm
Un cours complet sur les fractales de type SIF (systèmes itérés de fonctions) disponible en allemand. Certaines aptitudes en mathématiques sont nécessaires.

http://ejad.best.vwh.net/java/fractals/
Une introduction aux fractales de type L-systèmes en anglais. De bonnes connaissances de base en mathématiques suffisent pour suivre cette introduction.

http://icosaweb.ac-reunion.fr/GeomJava/abraCAda/Docs/lycee/abra11_2.pdf
Le document PDF en français comporte un article consacré à l’utilisation de CABRI et FRACTINT en classe.

http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/lycee/delahaye/chaos/infogene.htm
Ce site offre des informations de base et propose des activités aux étudiants sur les fractales en français.

http://www.ac-versailles.fr/etabliss/clg-pompidou-orgerus/Galerie_0304/Fractales/Explications.htm
Les pages en français du Collège G. Pompidou offrent des contenus mathématiques et artistiques.

Rapport des étudiants

http://www.fh-niederrhein.de/~gkorsch/if1100/mvkm/stundenprotokoll.html
Ce lien renvoie à un rapport élaboré par les étudiants à partir d’un cours consacré à la récursivité et au triangle de Sierpinski en allemand.

http://www.orillas.org/math/fractals.html
Rapport des étudiants (âgés de 14 à 15 ans) de l’école  "Duiliu Zamfirescu" à Focsani, en Roumanie sur leurs travaux. En anglais.

http://www.orillas.org/math/19971998/fract.html
Rapport sur les fractales dans le langage de programmation LOGO, réalisé par les étudiants (âgés de 13 à 14 ans) de l’école n° 10 de Focsani, en Roumanie.

Ressources
http://wmi.math.u-szeged.hu/~kovzol/XaoS/english.php
A commander : une sélection d’images représentant des fractales. Si vous commandez des versions imprimées, vous contribuerez au développement de XaoS, un programme open source destiné à calculer et à visualiser les fractales.

http://xaos.sourceforge.net/english.php 
Le programme de fractales XaoS est disponible dans les versions adaptées à Windows, Mac OS X et Linux. Vous trouverez également des conseils sur l’utilisation de la version Mac OS X. Le programme comporte en outre d’excellentes ressources en matière de formation et est repris dans de nombreuses distributions Linux. Les ressources sont disponibles en anglais, français, tchèque, allemand, espagnol et hongrois.

http://www.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt/fraktale/weg-linde/weg-linde.htm 
Introduction, en allemand, aux fractales des systèmes de Lindenmayer pour les étudiants en mathématiques.

http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
Les pages Web pages de Fractint, un programme libre destiné à créer des fractales disponible pour Windows, Mac et Linux.

http://www.fraktalwelt.de
Une source d’informations sur les programmes permettant de créer toute une variété de fractales en anglais et en allemand. Les programmes sont compatibles uniquement avec Windows.

http://www.javaview.de/vgp/tutor/lsystem/PaLSystem.html
Un programme JAVA permettant de calculer et de montrer en ligne les systèmes de Lindenmayer en deux dimensions. Aucune installation n’est requise.

http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/index.html
Tout ce que vous devez savoir sur les mathématiques et les aspects esthétiques des fractales, en français et en anglais.

http://www.csvt.qc.ca/patriotes/pei/travaux/fractales/fractales.html
Une introduction aux fractales en français.

http://www.ajlogo.com/
La page comporte une formidable interface facile à utiliser consacrée au langage de programmation LOGO. Il est même possible de discuter tout en programmant ! Le programme est un module JAVA fonctionnant ainsi directement via le navigateur Internet sur tout type de plateforme grâce à l’installation d’un plugin JAVA.

http://www.cs.berkeley.edu/~bh/logo.html
L’Université de Californie à Berkley dispose d’une version LOGO prête à être téléchargée gratuitement et compatible avec UNIX/LINUX, Windows et Mac.

http://xlogo.free.fr/
Une implémentation gratuite JAVA du programme LOGO, compatible avec tout type de plateforme. La ligne côtière de Koch figure parmi les exemples de cette documentation, disponible en français, en anglais et en espagnol.

http://velorum.ballarat.edu.au/~rrussell/microworlds/fractals.php
Cette page contient une multitude de programmes LOGO autres que ceux permettant la création de fractales de type L-systèmes. Vous y trouverez également de jolies formes d’arbres.

http://www.fractalsciencekit.com/
Le kit permettant de créer des fractales offre un cadre particulièrement riche à l’exploration de l’univers des fractales et à la création d’images fractales personnalisées

Activités

http://www.fractalartcontests.com/1997/contest.htm
Page Web consacrée aux concours de fractals et réalisée par les développeurs de Fractint.

Personnes

http://www.math.yale.edu/mandelbrot/
Page d’accueil de Benoit B. Mandelbrot, l’un des pères de la recherche sur les fractales et parrain du portail Xplora.

http://pages.cpsc.ucalgary.ca/~pwp/
Page d’accueil de PRZEMYSLAW PRUSINKIEWICZ, l’un des auteurs du célèbre ouvrage “The algorithmic beauty of plants” consacré aux systèmes de Lindenmayer [2].

http://wwwmaths.anu.edu.au/~barnsley/
Page d’accueil de  Michael Barnsley, lequel a introduit les SIF auprès du grand public. Michael Barnsley est également l’auteur de l’ouvrage “Fractals everywhere” [3].

Imprimés

[1] The Fractal Geometry of Nature, Benoit B. Mandelbrot, ISBN: 0-7167-1186-9, 1982.
[2] The Algorithmic Beauty of Plants, Prusinkiewicz & Lindenmayer, ISBN: 0387972978, 1990 (épuisé). La version PDF est disponible sur : http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop.pdf.
[3] Fractals Everywhere, Michael F. Barnsley, ISBN: 0120790696, 1993.

 

 

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