Winkelfunktionen - Mathematische Hintergründe

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Winkelfunktionen

Zusammenfassung:

Winkelfunktionen drücken einfache geometrische Beziehungen zwischen Winkeln und Längen(verhältnissen) aus. Ihre Schwierigkeit - insbesondere für AnfängerInnen - besteht darin, dass sie über die bisher bekannten Rechenoperationen hinaus weisen.

Stichworte:

Sinus und Cosinus

Beginnen wir mit einer harmlosen Frage:

Wie lange ist der Schatten eines um den Winkel a relativ zur Horizontalen geneigten Stabes der Länge 1, wenn die Sonne senkrecht auf ihn herabscheint? Betrachten Sie die nebenstehende Skizze: Die rote Strecke stellt den Stab dar, der Pfeil symbolisiert das von oben einfallende Licht. Der Winkel a soll beliebig gewählt werden können (im Beispiel rechts ist a = 51°). Gesucht ist die Länge der grünen Strecke.

An dieser Stelle tritt eine Überraschung auf, die viele Lernende vor eine völlig neue Situation stellt, und die mit den Schwierigkeiten, die die Winkelfunktionen vielen Menschen bereiten, zusammenhängt: Das Problem ist nicht mit Hilfe der Rechenoperationen, die wir bisher kennengelernt haben, zu lösen! Nur in Ausnahmefällen ist die Länge des Schattens durch bereits bekannte "schöne" Zahlen auszudrücken (z.B. für a = 60° ist sie ¹/₂, für a = 45° ist sie 2^-1/2), aber etwa für a = 51° ergibt sich eine (reelle) Zahl, die sich nicht in dieser oder einer ähnlichen Weise angeben lässt. Wir können das hier nicht begründen, aber es ist wichtig, es zu wissen, um die Vorgangsweise, die wir nun beschreiten werden, zu verstehen.

Obwohl

wir zunächst nicht wissen, wie wir die Länge des Schattens für (beispielsweise) a = 51° berechnen können, ist klar, dass sie durch die Fragestellung eindeutig bestimmt ist. Um eine grobe Näherung zu erhalten, können wir eine (möglichst) genaue Zeichnung nach Art der obigen Skizze anfertigen und die Länge der grünen Strecke abmessen. Es ergibt sich ein Wert von ungefähr 0.63. Ein solches Verfahren ist aber vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet unbefriedigend. Was wir allerdings in jedem Fall tun können, ist, dem genauen Resultat einen Namen zu geben: wir nennen es Cosinus.

Die Länge der grünen Strecke wird als cos a oder, mit Klammer, als cos(a) geschrieben und "Cosinus alpha" oder "Cosinus von alpha" ausgesprochen. Da der Schatten die Länge des Bildes ist, das die Sonne auf den Boden "projiziert", können wir formulieren: cos a ist die Länge der Projektion einer Strecke, die - wie in der linksstehenden Skizze - um den Winkel a geneigt ist und die Länge 1 hat. Ist a = 51°, wie in unserem Beispiel, so schreiben wir cos(51°). Das Symbol cos(51°) stellt also eine reelle Zahl dar (sie ist ungefähr 0.63), cos(60°) stellt eine andere reelle Zahl dar (nämlich ¹/₂), usw.

Ganz analog dazu können wir den Stab

mit horizontal einfallendem Licht beleuchten und fragen, wie lange sein auf eine senkrechte Wand geworfener Schatten ist. Auch diese Länge lässt sich im Allgemeinen nicht mit Hilfe der uns bereits bekannten Rechenmethoden angeben, und wir nennen sie Sinus.

Die Länge der blauen Strecke in der rechtsstehenden Skizze wird als sin a oder, mit Klammer, als sin(a) geschrieben und "Sinus alpha" oder "Sinus von alpha" ausgesprochen. Wieder handelt es sich um eine Projektion, diesmal allerdings entlang horizontal einfallender Lichtstrahlen. sin a kann auch als die scheinbare Länge, unter der wir den roten Stab aus großer Entfernung vor seinem Hintergrund sehen, gedeutet werden. Ist beispielsweise a = 51°, so schreiben wir sin(51°).

Sinus und Cosinus (und einige andere Größen, die wir weiter unten daraus gewinnen werden) heißen Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Die Bezeichnung "Funktionen" rührt daher, dass jedem Winkel a die beiden Zahlen sin a und cos a zugeordnet werden. Mathematisch betrachtet ist das nichts Aufregendes. Wenn wir einer Zahl x ihr Quadrat zuordnen und das als f(x) = x² schreiben, tun wir im Prinzip nichts anderes. Der Unterschied zum Quadrieren besteht nur darin, dass die numerische Berechnung von sin a und cos a für einen gegebenen Winkel a aufwendiger ist als das Quadrieren einer gegebenen Zahl. Zum Glück können wir diese Arbeit Werkzeugen überlassen, die das für uns tun, z.B. dem Computer oder dem Taschenrechner. Auch diese Werkzeuge liefern für die meisten Winkel nur numerische Näherungswerte, die aber, ähnlich wie beim Wurzelziehen, für praktische Anwendungen ausreichend genau sind.

Funktionen 1

Wir bitten Sie also, zu akzeptieren, dass Sie die Art und Weise, wie Rechenmaschinen das machen, in diesem Kapitel nicht kennenlernen werden. Das hindert uns aber nicht daran, diese Werkzeuge zu benutzen:

Geben Sie einige Winkel ein und klicken Sie auf die Buttons mit den Gleichheitszeichen, um deren Sinus und Cosinus anzeigen zu lassen! Wir können nun auch das obige Beispiel (a = 51°) mit hoher Genauigkeit lösen: Unsere kleine Rechenmaschine sagt uns, dass cos(51°) = 0.6293203910498375 ist, und das ist die gesuchte Länge des Schattens, den das senkrecht einfallende Sonnenlicht am Boden wirft. Genau genommen ist auch das nur ein Näherungswert, aber für alle praktischen Zwecke ist er sogar zu genau. Hat der rote Stab etwa eine Länge von einem Meter, so können wir die Länge seines Schattens getrost als 62.9 cm angeben.

Sinus und Cosinus (letzterer manchmal auch "Kosinus" geschrieben), sowie alle weiteren Winkelfunktionen, die Sie in diesem Kapitel noch kennenlernen werden, spielen in der Mathematik und in zahlreichen Anwendungen eine wichtige Rolle. Ihre überragende Bedeutung rührt letzten Endes daher, dass sie einfachen und sehr allgemeinen (d.h. oft auftretenden) geometrischen Fragestellungen entspringen. Dass ihre numerische Berechnung keine leichte Sache ist und zunächst an Computerwerkzeuge oder Taschenrechner delegiert wird, mag zwar ein bisschen lästig erscheinen, sollte aber die Tatsache ihrer prinzipiellen Einfachheit (und Schönheit, wie viele MathematikerInnen sagen würden) nicht verdecken.

Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen Dreieck

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Wir wissen nun im Prinzip,

was der Sinus und der Cosinus eines Winkels sind und sehen uns nun einige Dinge an, die wir damit anstellen können. In jeder der Grafiken des vorigen Abschnitts erkennen wir ein rechtwinkeliges Dreieck: In der rechtsstehenden Grafik haben wir es hervorgehoben. Außerdem haben wir das Ganze ein bisschen gedreht, denn auf die Lage des Dreiecks in der Zeichenebene kommt es nicht an. Mit Hilfe dieser Grafik können wir unsere beiden Winkelfunktionen auf eine andere Weise charakterisieren:

In einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat, sei a einer der beiden nicht-rechten Winkel. Dann ist

sin a die Länge der Kathete, die dem Winkel a gegenüberliegt, und
cos a die Länge der Kathete, die dem Winkel a anliegt.

Nun

betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck, das denselben Winkel a besitzt, dessen Hypotenuse aber nicht unbedingt die Länge 1 hat. Wir erhalten es, indem wir unser bisheriges Dreieck "aufblasen" oder "schrumpfen", und zwar so, dass alle Winkel erhalten bleiben. Das ursprüngliche und das links abgebildete Dreieck sind einander ähnlich. In beiden Dreiecken ist die (dem Winkel a) gegenüberliegende Kathete (blau) um den Faktor sin a kürzer als die Hypotenuse, und in beiden Dreiecken ist die Ankathete (grün) um den Faktor cos a kürzer als die Hypotenuse. In diesem Sinn können sin a und cos a als Verkürzungsfaktoren verstanden werden. Dieser Sachverhalt kann formal mit Hilfe des Strahlensatzes bewiesen werden. Wir sehen also, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:

sin a =

Gegenkathete

Hypotenuse

(1)

cos a =

Ankathete

Hypotenuse

(2)

Kapitel Analytische Geometrie 1 (in Vorbereitung)

Ähnlichkeit und
Strahlensatz
(in Vorbereitung)

Um sich diese Formeln besser merken zu können, ziehen Sie am besten folgende "Eselsbrücke" heran: Der Sinus gehört zur gegenieberliegenden Kathete, der Cosinus zur onliegenden Kathete. In den meisten Lehrbüchern werden Sinus und Cosinus durch die Eigenschaften (1) und (2) eingeführt. Mit Hilfe des nebenstehenden Applets, in dem ebenfalls (1) und (2) als Ausgangspunkte genommen werden, können Sie sich mit diesen Beziehungen ein bisschen besser vertraut machen.

Um zu illustrieren,

wie diese Eigenschaften beim Rechnen verwendet werden, betrachten wir folgende Vermessungsaufgabe: Wie in nebenstehender Skizze dargestellt, wird die direkte Entfernung einer Beobachtungsstation zu einem Berggipfel mit 3.7 km gemessen. Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 19.5°. Wie hoch ist der Berg?

Lösung: Erkennen Sie das rechtwinkelige Dreieck in der Skizze? Wir wenden die Beziehung (1) an:

sin (19.5°) =

3.7 km

Daher ist h = sin(19.5°) × 3.7 km. Unter Zuhilfenahme der obigen Rechenmaschine ergibt sich sin(19.5°) = 0.3338, daher h = 0.3338 × 3.7 km = 1.24 km, wobei wir das Resultat in vernünftiger Weise gerundet haben.

Wenn Sie derartige Aufgaben lösen, empfiehlt es sich, einen Rechner (z.B. einen Taschenrechner, den mathe online Mini-Rechner oder JavaCalc) bereitzuhalten. Am Ende dieses Kapitel finden Sie ein paar Tipps zum computerunterstützten Rechnen mit Winkelfunktionen.

Applet
Definition der Winkelfunktionen

Sinus und Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme

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Unsere

oben gegebenen Definitionen von Sinus und Cosinus sind genau genommen noch nicht ganz vollständig. Erinnern wir uns: Wir haben Sinus und Cosinus eingeführt als die Längen der Schatten eines geneigten Stabes der Länge 1, einmal unter vertikalem Lichteinfall (cos a) und einmal unter horizontalem Lichteinfall (sin a). In der nebenstehenden Skizze ist das noch einmal dargestellt, wobei wir den (roten) Stab aber diesmal mit einem Ende in den Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems gehängt haben und die "Schatten" (oder Projektionen) entlang der Achsen einzeichnen. Der Winkel a wird relativ zur horizontalen Achse (x-Achse) im Gegenuhrzeigersinn gemessen.

Nun sehen wir, dass wir den Winkel a vergrößern können, indem wir den roten Stab wie einen Uhrzeiger (allerdings gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Das äußere Ende des Zeigers beschreibt dadurch einen Kreisbogen (mit Radius 1). Wir wollen solche Diagramme als "Zeigerdiagramme" bezeichnen.

Die

Drehung des Zeigers kann über die vertikale Lage hinaus fortgesetzt werden. Eine solche Lage des Zeigers beschreiben wir, wie in der linksstehenden Skizze dargestellt, mit einem Winkel, der größer als 90° ist. Wir können nun auch hier (analog zur obigen Skizze) die Projektionen auf die Achsen einzeichnen und dadurch Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° definieren. Dabei kommen wir überein, eine vom Ursprung nach links oder nach unten weisende Strecke als negativ zu zählen. Der im Beispiel links eingestellte Winkel ist 131°. Die Länge der grünen Strecke ist ungefähr 0.656. Der Cosinus dieses Winkels ist daher ungefähr -0.656, also negativ! Probieren Sie es selbst mit Hilfe der obigen Rechenmaschine aus! sin(131°) hingegen ist positiv (ungefähr 0.755), da die blaue Strecke vom Ursprung aus nach oben weist.

Wenn wir den roten Zeiger weiterdrehen, können wir jeden Winkel zwischen 0° und 360° einstellen, und in all diesen Fällen legt unsere Vorschrift ganz eindeutig fest, wie groß Sinus und Cosinus sind und welche Vorzeichen sie haben. Der Button rechts ruft eine Übersicht über alle dabei auftretenden Vorzeichenkombinationen auf. Die Vorzeichen von Sinus und Cosinus hängen davon ab, in welchem der vier Quadranten der Zeiger, der den Winkel a repräsentiert, liegt. (Die Quadranten teilen die Zeichenebene in vier Bereiche ein, die von den Achsen begrenzt werden. Sie werden im Gegenuhrzeigersinn von 1: "rechts oben" über 2: "links oben" und 3: "links unten" bis 4: "rechts unten" gezählt).

Wir können den Zeiger sogar noch weiterdrehen, wobei dann allerdings nichts Neues mehr auftritt: Ein Winkel von 370° unterscheidet sich nicht von 10° - dementsprechend sind auch die Winkelfunktionen gleich, z.B. sin(370°) = sin(10°). Wir können den Zeiger auch zurückdrehen und a wieder verkleinern, bis wir zu negativen Zahlen gelangen. Aber auch das bringt nichts Neues: Ein Winkel von -10° unterscheidet sich nicht von 350° - dementsprechend sind auch die Winkelfunktionen gleich, z.B. sin(-10°) = sin(350°). Unsere Rechenmaschine weiß das auch - probieren Sie es!

Wieso wollen wir Sinus und Cosinus für alle Winkel definieren, und wieso tun wir es auf diese Weise? Vor allem, weil es für viele Zwecke praktisch ist. Winkel zwischen 90° und 180° (sogenannte "stumpfe" Winkel, im Gegensatz zu "spitzen" Winkeln zwischen 0° und 90°) treten auch in der Praxis auf. Und wenn der rote Zeiger nach rechts weist und um 1° nach unten geneigt ist, so ist die Angabe -1° kürzer (und auch für die Vorstellung günstiger) als 359°. Diese Konvention hat aber auch theoretische Konsequenzen. So ist zum Beispiel die Summe zweier Winkel wieder ein Winkel. Sind a und b zwei Winkel (d.h. beschreiben zwei Zeigerstellungen), so ist a + b wieder ein Winkel, da ja jeder Wert zulässig ist. Wir müssen dabei nur bedenken, dass Winkel, die sich um 360° (oder Vielfache davon) unterscheiden, miteinander identifiziert werden.

Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, lassen sich mit Hilfe der Zeigerdiagramme zahlreiche grundlegende Eigenschaften der Winkelfunktionen mühelos beweisen. Diese Diagramme stellen eine wertvolle Hilfe dar, und es lohnt sich, sie im Gedächtnis zu behalten. Im nebenstehenden Applet können Sie den Winkel interaktiv verändern und sich die Sache dynamisch ansehen. Der rechte Teil des Applets zeigt eine graphische Darstellung der Winkelfunktionen, die einem späteren Kapitel vorbehalten ist, die Sie aber vielleicht jetzt schon interessant finden (ansonsten ignorieren Sie sie einfach).

Eine der Eigenschaften, die aus den Zeigerdiagrammen hervorgehen, betrifft den Wertebereich von Sinus und Cosinus: Die Werte dieser beiden Funktionen können nie kleiner als -1 oder größer als 1 sein. Das folgt unmittelbar daraus, dass die Projektionen des Zeigers auf die Achsen nicht länger als er selbst (der ja die Länge 1 hat) sein können. Wir können also formulieren, dass für alle Winkel a

-1 £ sin a £ 1 und -1 £ cos a £ 1

(3)

gilt.

Applet
Die Graphen von
sin, cos und tan

Nun wissen Sie bereits ziemlich viel über die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus. Der nebenstehende Button ruft zwei Beispiele (die Drehbewegung und die harmonische Schwingung) auf, die illustrieren, wie wichtig diese Konzepte für die Physik sind.

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

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Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus zählen zu den wichtigsten mathematischen Funktionen überhaupt. Sie besitzen zahlreiche Eigenschaften, die sowohl in Anwendungen wie auch in der reinen Mathematik benötigt werden. Von einigen dieser Eigenschaften soll jetzt die Rede sein.

Der Satz des Pythagoras

Vielleicht

werden Sie überrascht sein, hier einen alten Bekannten zu treffen: den pythagoräischen Lehrsatz! Betrachten wir - wie zu Beginn dieses Kapitels - ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat. Nebenstehend ist eine der bereits oben verwendeten Grafiken wiedergegeben. (Solche Dreiecke sind auch in den Zeigerdiagrammen des vorigen Abschnitts enthalten). Der Satz des Pythagoras besagt, dass im rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten(längen) gleich dem Quadrat der Hypotenuse(nlänge) ist. Auf das nebenstehende Dreieck angewandt bedeutet das, dass für jeden Winkel a die Identität

sin²a + cos²a = 1

(4)

gilt. Dabei ist sin²a eine Kurzschreibweise für (sin a)², gesprochen: "Sinus-Quadrat a". Diese Formel ist nichts anderes als eine - zu Beginn vielleicht ungewöhnliche - Art, den Pythagoräischen Satz auszudrücken. Sie zeigt einen einfachen Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus auf. Ist etwa - für irgendeinen Winkel a - sin a bekannt, so gilt

cos a = ±

________
Ö 1 - sin²a ,

(5)

wobei das Vorzeichen davon abhängt, in welchem Quadranten der Zeiger, der den Winkel a im Zeigerdiagramm repräsentiert, liegt (im ersten und vierten Quadranten +, ansonsten -).

Periodizität und (Anti-)Symmetrie

Aus den Zeigerdiagrammen ergibt sich, dass Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind: Wird zu einem Winkel a der volle Winkel 360° addiert, so ist der Zeiger in derselben Position wie für a. Daher gilt

sin(a + 360°) = sin a

cos(a + 360°) = cos a.

(6)

Wir sagen auch: Die Periode (oder Periodenlänge) dieser beiden Funktionen ist 360°. Weiters gilt

sin(-a) = -sin a

cos(-a) = cos a,

(7)

weshalb der Sinus als antisymmetrische, der Cosinus als symmetrische Funktion bezeichnet wird. (Die volle Bedeutung dieser beiden Begriffe wird erst in einem späteren Kapitel klar werden).

Periodizität

(Anti)Symmetrie

Identitäten mit Supplementär- und Komplementärwinkeln

Einige weitere nützliche Identitäten ergeben sich für Winkel, die einander zu 90° (Komplementärwinkel) oder 180° (Supplementärwinkel) ergänzen, und solche, die sich um 90° oder 180° unterscheiden:

sin(90° - a) = cos a

cos(90° - a) = sin a

(8)

sin(a + 90°) = cos a

cos(a + 90°) = -sin a

(9)

sin(180° - a) = sin a

cos(180° - a) = -cos a

(10)

sin(a + 180°) = -sin a

cos(a + 180°) = -cos a.

(11)

Die Werte von Sinus und Cosinus für beliebige Winkel ergeben sich also ganz einfach aus jenen für Winkel zwischen 0° und 90°.

Doppelte Winkel

Sind unsere beiden Winkelfunktionen für einen Winkel a bekannt, so sind sie für den doppelten Winkel durch

sin(2a) = 2 sin a cos a

(12)

cos(2a) = cos²a - sin²a

(13)

gegeben. Wir beweisen diese beiden Formeln hier nicht. Sie sind Spezialfälle der im nächsten Punkt zu besprechenden Identitäten.

Summensätze (Additionstheoreme) für Sinus und Cosinus

Zusätzlich zu den bisher besprochenen Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus gelten einige weitere Identitäten, die zwei (beliebige) Winkel enthalten, und die einer gewissen (mathematischen) Schönheit nicht entbehren. Sie sind unter dem Namen Summensätze oder Additionstheoreme bekannt. Wir verzichten hier darauf, sie zu beweisen (das geschieht am bequemsten im Rahmen der Komplexen Zahlen), sondern geben sie lediglich wieder. Für zwei beliebige Winkel a und b gilt immer

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

(14)

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

(15)

Setzen wir b = a, so erhalten wir (12) und (13). Weiter unten werden wir die Summensätze für zwei andere Winkelfunktionen erwähnen.

Komplexe Zahlen
(in Vorbereitung)

Weitere Eigenschaften dieser beiden Winkelfunktionen können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Ihre exakten Werte für einige spezielle Winkel sind in einem späteren Abschnitt aufgelistet. Mehr Informationen finden Sie in einschlägigen Formelsammlungen, z.B. im Abschnitt Trigonometrische Funktionen von DeskTop Mathematik oder im Abschnitt Trigonometrie von mathematik.net.

Tangens und Cotangens

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Neben Sinus und Cosinus sind noch einige andere Funktionen, die von ihnen abgeleitet sind, gebräuchlich. Insbesondere bekommen die Quotienten aus Sinus und Cosinus eigene Namen: Tangens und Cotangens (letzterer manchmal auch "Kotangens" geschrieben). Wir definieren:

tan a =

sin a

cos a

(16)

cot a

cos a

sin a

tan a

(17)

Beachten Sie, dass diese beiden Ausdrücke die Kehrwerte voneinander sind, also eng zusammenhängen: ihr Produkt ist 1. (Auf manchen Taschenrechnern findet sich gar keine Taste für den Cotangens, da er als 1/Tangens berechnet werden kann). Manchmal werden statt tan und cot die Abkürzungen tg und ctg verwendet. Hier eine kleine Rechenmaschine für diese beiden Winkelfunktionen:

Im Unterschied zu Sinus und Cosinus sind Tangens und Cotangens für einige Winkel nicht definiert: Berechnen Sie beispielsweise tan(90°) oder cot(0°). Unser Rechner gibt "Infinity" aus, womit er anzeigt, dass eine Division durch Null versucht worden ist. Aus den Definitionen (16) und (17) können wir auch den Grund dafür erkennen:

Ist cos a = 0 (was für a = 90° und 270° passiert, letzteres ist mit -90° gleichbedeutend), so verschwindet der Nenner in (16). In diesen Fällen ist tan a nicht definiert, und es gilt cot a = 0.
Ist sin a = 0 (was für a = 0° und ±180° passiert), so verschwindet der Nenner in (17). In diesen Fällen ist cot a nicht definiert, und es gilt tan a = 0.

Ansonsten liefert unser Rechner konkrete Zahlenwerte, die nun allerdings beliebig groß werden können.

Tangens und Cotangens im rechtwinkeligen Dreieck

Applet
Definition der Winkelfunktionen

Auch

Tangens und Cotangens treten als Seitenverhältnisse in jedem rechtwinkeligen Dreieck auf. Mit Hilfe der Definitionen (16) und (17) ergibt sich aus (1) und (2)

tan a =

Gegenkathete

Ankathete

(18)

cot a =

Ankathete

Gegenkathete

(19)

Sehen wir uns als Anwendungsbeispiel eine kleine Vermessungsaufgabe an: Der Gipfel eines 1.24 km hohen Berges wird unter einem Höhenwinkel von 19.5° gesehen.

Wie weit ist der Beobachter vom Fußpunkt des Gipfels entfernt?

Lösung: Erkennen Sie das rechtwinkelige Dreieck in der Skizze? Wir wenden die Beziehung (18) an:

tan (19.5°) =

1.24 km

Daher ist d = 1.24 km/tan(19.5°). Unter Zuhilfenahme des obigen Tangens-Cotangens-Rechners ergibt sich tan(19.5°) = 0.3541, daher d = 1.24 km/0.3541 = 3.502 km (wobei der abermals gerundete Wert d = 3.50 km für die meisten Zwecke ausreichen wird). In der Praxis werden Sie übrigens nicht zuerst tan(19.5°) berechnen und danach erst die Division ausführen, sondern - wenn es Ihr Rechner oder das verwendete Programm zulässt - gleich die gesamte Anweisung zur Berechnung von 1.24/tan(19.5°) eingeben. (Zur Verwendung elektronischer Rechenhilfen sagen wir weiter unten mehr).

Tangens und der Anstieg

Dem Tangens kommt eine ganz besondere Stellung zu, da er den Zusammenhang zwischen dem Steigungswinkel und dem Anstieg (der Steigung) einer

Geraden ausdrückt. Um den Anstieg einer Geraden zu bestimmen, wird, wie in der nebenstehenden Skizze dargestellt, ein "Steigungsdreieck" gezeichnet. Der Quotient k = Dy/Dx wird als Anstieg der Geraden bezeichnet - er hat in allen Steigungsdreiecken denselben Wert, unabhängig von ihrer Größe. Definition (18) sagt uns dann, dass der Anstieg gleich dem Tangens des Steigungswinkels ist:

k = tan a.

(20)

Anstieg
(in Vorbereitung)

Ist also beispielsweise der Steigungswinkel einer Straße 12°, so ist ihr Anstieg tan(12°), was näherungsweise 0 .21 ist. Die Verkehrstafel, die die Steigung der Straße anzeigt, wird dann die Aufschrift "21%" tragen (was als "21 Meter Höhenunterschied pro 100 Meter laut Straßenkarte zurückgelegter Entfernung" gelesen werden kann). Für eine senkrechte Gerade ist der Anstieg kein sinnvolles Konzept, was genau der Tatsache, dass tan(90°) und tan(-90°) nicht definiert sind, entspricht.

Applet
Der Anstieg einer Geraden

Eigenschaften von Tangens und Cotangens

Die

oben für Sinus und Cosinus aufgelisteten Beziehungen implizieren eine Reihe nützlicher Eigenschaften von Tangens und Cotangens. Wie Sinus und Cosinus lassen sie sich in Zeigerdiagrammen geometrisch interpretieren. Nebenstehend ist ein solches Diagramm abgebildet. Der Winkel a wird durch den (roten) Zeiger repräsentiert. Der Tangens dieses Winkels kann als Abschnitt auf der hellblau eingezeichneten Geraden g (der sogenannten Tangens-Schiene) abgelesen werden. Er ist, wie sich aus der Beziehung (20) ergibt, der Anstieg des Zeigers, der in der Skizze durch eine strichlierte Linie bis zur Tangens-Schiene fortgesetzt wurde. Auch für Winkel größer als 90° und für negative Winkel wird der Tangens an derselben Geraden g abgelesen. Mit dieser Methode kann auch sein Vorzeichen für derartige Winkel leicht ermittelt werden. Für a = 90° und a = -90° ist der Zeiger parallel zur Tangens-Schiene. Hier haben wir den geometrischen Grund dafür, dass der Tangens für diese Winkel nicht definiert ist. Sehen Sie sich die Sache auch im linken Teil des nebenstehenden Applets an. Für den Cotangens gilt Analoges, wobei lediglich die Rolle der Achsen vertauscht werden muss.

Aufgabe: Zeichnen Sie Sinus, Cosinus und Tangens in ein einziges Zeigerdiagramm ein. Versuchen Sie, anhand dieses Diagramms zu beweisen, dass der Abschnitt auf der Tangens-Schiene tatsächlich die in (16) definierte Größe ist. (Tipp: Es treten zwei zueinander ähnliche Dreiecke auf).

Applet
Die Graphen von
sin, cos und tan

Wie Sinus und Cosinus sind Tangens und Cotangens periodische Funktionen; allerdings ist die Periode für sie kürzer - sie beträgt 180°:

tan(a + 180°) = tan a

cot(a +180°) = cot a.

(21)

Eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderen die Summensätze für Tangens und Cotangens) können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Die exakten Werte der beiden Funktionen für einige spezielle Winkel sind weiter unten aufgelistet. Für mehr Informationen konsultieren Sie eine Formelsammlung wie z.B. den Abschnitt Trigonometrische Funktionen von DeskTop Mathematik oder den Abschnitt Trigonometrie von mathematik.net.

Weitere Winkelfunktionen

Wir merken am Ende dieses Abschnitts an, dass bisweilen auch andere Winkelfunktionen, die sich aus den bisherigen ableiten, verwendet werden. Es handelt sich dabei in allen Fällen lediglich um Abkürzungen, die für gewisse Zwecke praktisch sind. So sind - vor allem in der englischsprachigen Literatur - der Secans und der Cosecans gebräuchlich. Sie sind definiert durch sec a =1/cos a und csc a = 1/sin a. In verschiedenen Spezialgebieten der Mathematik wird man über weitere Winkelfunktionen, wie zum Beispiel den Semiversus, definiert als sem a = sin²(a/2), stolpern. Die älteste Winkelfunktion wurde im zweiten vorchristlichen Jahrhundert von Hipparchos von Nicäa tabelliert: die Sehnenfunktion, die in der modernen Form als chord a = 2 sin(a/2) geschrieben wird.

Spezielle Winkel

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Für manche Winkel lassen sich die Winkelfunktionen durch die uns bisher bekannten Rechenoperationen, insbesondere durch Quadratwurzeln, darstellen. In der folgenden Tabelle sind einige dieser Winkel und die zugehörigen Funktionswerte aufgelistet:

sin a

cos a

tan a

cot a

0°

± ¥

30°

__
Ö 3

45°

__
Ö 2

60°

__
Ö 3

90°

± ¥

180°

-1