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Mathematik hat etwas mit ''Rechnen'' zu tun. Aber schon ein Blick in ein fortgeschrittenes
Mathematikbuch zeigt, daß dort weniger mit Zahlen als mit Buchstaben ''gerechnet'' wird.
Was soll das sein - ''mit Buchstaben rechnen''?
Tatsächlich geht es in weiten Teilen des Mathematikstoffs um das Rechnen mit Zahlen -
nur sieht man das auf den ersten Blick nicht mehr! Und das kommt so:
Sobald das Interesse über das Hantieren mit einzelnen Zahlen hinausgeht, stellen sich
Beobachtungen allgemeinerer Natur ein. Wie sind eigentlich die Rechenregeln beschaffen, die
wir - mehr oder weniger automatisch - anwenden, um mit Zahlen umzugehen?
Eine der einfachsten Regeln ist diese: Beim Addieren
von reellen Zahlen (und daher auch von natürlichen, ganzen und rationalen) kommt es auf
die Reihenfolge nicht an. So ist z.B.
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Zahlenmengen
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und es ist auch 3 + 7 = 7 + 3 und 1.3 + 17 = 17 + 1.3, und wir können viele Beispiele
für diese Regel angeben. Kurz und bündig ausgedrückt, es ist
wenn x und y reelle Zahlen sind. Hier haben wir schon eine Aussage, die
von Zahlen handelt, aber
in der nur
Buchstaben vorkommen - ein Beispiel für ''Buchstabenrechnen''. Sie heißt
Kommutativgesetz der Addition.
Ebenso gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation
wenn x und y reelle Zahlen sind.
(Zur Erinnerung: das Symbol × für die Multiplikation schreiben wir nur an,
wenn ansonsten Verwechslungsgefahr besteht).
Eine weitere Aussage dieses Typs, die Addition und
Multiplikation kombiniert, ist
für alle reellen Zahlen a, b, c
und heißt Distributivgesetz oder
''Klammern ausmultiplizieren''
(''Klammern auflösen''). Wir haben sie schon in einem
früheren Kapitel so genannt.
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Distributivgesetz
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Zur Illustration setzen wir anstelle von a, b und c
konkrete Zahlen ein.
Werten wir
die linke und die rechte Seite von (4)
für a = 2, b = 3 und c = 4 aus:
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linke Seite von (4) : 2 (3 + 4) = 2 × 7 = 14 |
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rechte Seite von (4): 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14. |
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| (5) |
Wir sehen, daß sich beide Seiten auf dieselbe Zahl reduzieren, nämlich 14,
haben die Aussage (4)
also durch das Einsetzen konkreter Zahlen überprüft.
Auch für jede andere konkrete Wahl der drei Zahlen ist (4) eine
wahre Aussage. Es handelt sich offensichtlich um eine allgemeine Eigenschaft der
reellen Zahlen.
Eine Rechenregel, die im Umgang mit negativen Zahlen nützlich ist, lautet
wenn u eine reelle Zahl ist. Das Negative vom Negativen einer Zahl ist sie selbst
(oft als ''minus minus = plus'' abgekürzt). Damit verwandte Regeln sind
(-a) (-b)
= a b,
(-1) z = -z
und x(-y)
= - x y,
die für beliebige reelle Zahlen gelten.
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3 Rollen des
Minuszeichens
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In allen oben behandelten Fällen stehen Buchstaben für Zahlen. Genauer gesagt, stehen
abstrakte Symbole für konkrete Zahlen. Es ist dies die einfachste
Weise, sich nicht von Vornherein auf bestimmte
Zahlen festzulegen, sondern allgemeine Aussagen zu treffen.
Symbole (Buchstaben), die in einer solchen Eigenschaft auftreten, nennen wir
Variable.
Da sie für Zahlen stehen, die jederzeit eingesetzt werden können,
werden sie auch Platzhalter genannt - sie ''halten den Platz'' für Zahlen.
Dieser Begriff wird später verschiedene Schattierungen
bekommen, aber hier haben wir die Grundidee bereits vor uns: Ein Symbol
(wie z.B. x) soll für eine Zahl stehen - wir wollen uns aber nicht festlegen,
für welche, und
halten es deshalb ''variabel''.
Ein Ausdruck, der aus Variablen besteht, für die Zahlen eingesetzt werden können, wird
Term genannt. Beispiele für Terme sind x, a + b und -(-s),
aber auch kompliziertere Ausdrücke wie
|
x2, a2 (x - y) und a2 + b2. |
| (7) |
Potenzen
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Potenzen
wie die in (7) auftretenden Quadrate
werden genauso wie für konkrete Zahlen angeschrieben:
a0 für 1 , a1 für a ,
a2 für a × a , a3 für a × a × a usw.
Allgemein hat eine Potenz die Form an, wobei n Hochzahl oder
Exponent heißt.
(Manchmal wird dafür auch
a^n
geschrieben).
Für Potenzen gelten die Rechenregeln
|
(a b)2 = a2 b2 (a b)3 = a3 b3, |
| (8) |
wobei a und b für beliebige Zahlen stehen, und ganz allgemein
| | | |
Potenzen von
Zahlen
| |
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wobei nun n für eine beliebige nicht-negative ganze Zahl steht.
Eine weitere wichtige Rechenregel für Potenzen ist
(Beispiel: a2 × a3 = a × a × a × a × a = a5 ).
In einem späteren Kapitel werden wir den Begriff der Potenz verallgemeinern und auch
negative, rationale und schließlich
beliebige reelle Zahlen für n zulassen (wobei allerdings dann a positiv sein
muß).
Die Gültigkeit all dieser Rechenregeln wird dabei bestehen bleiben.
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Hochzahlen, die
keine natürlichen
Zahlen sind
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Polynome und Koeffizienten
Terme, die aus Variablen und Zahlen mit Hilfe der Operationen Multiplikation,
Addition und Subtraktion gewonnen werden können, heißen Polynome
(oder auch "ganzrationale Terme"). So ist z.B.
|
5 x5 + 4 x3 -7 x2 + x - 1 |
| (11) |
ein Polynom in der Variablen x und
|
|
3
2
|
a3 b2 - 2.17 a3 b + |
5 a b2
3
|
- a + 2p b |
| (12) |
ein Polynom in den Variablen a und b. Die hier auftretenden Zahlen
5, 4, -7, 1, -1 für das erste und
3/2, -2.17, 5/3, -1, 2p für das zweite Polynom
heißen Koeffizienten. (Im ersten Fall sind sie ganzzahlig, im zweiten nicht.
Beachten Sie: p ist lediglich eine Abkürzung für die reelle Zahl 3.1415925..., keine Variable!
Nicht jeder Buchstabe ist automatisch eine Variable). Ein Polynom, das nur aus einer einzigen Potenz und einem
Koeffizienten besteht, wie
3 x5,
wird Monom genannt.
Hängt ein Polynom von einer einzigen Variablen ab, so wird die höchste
auftretende Potenz dieser Variablen als Grad oder
Ordnung des Polynoms bezeichnet.
So ist beispielsweise (11) ein Polynom fünfter Ordnung.
Ein Polynom zweiter Ordnung heißt quadratisch,
ein Polynom dritter Ordnung heißt kubisch.
Eine Konstante (in der die Variable gar nicht vorkommt) wird auch als Polynom
nullter Ordnung bezeichnet (da
x0 = 1 ist).
Polynome treten in der Mathematik häufig auf und werden uns
noch oft begegnen.
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weitere
Eigenschaften
von Polynomen
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Bruchterme
Nehmen wir die Division hinzu, so können wir Bruchterme wie
|
|
x
2 y
|
, |
a + b
a - b
|
und |
p
u
|
( v2 - w2 )2 |
| (13) |
bilden.
(Hier sollten wir bedenken, daß durch jede Zahl dividiert werden
darf außer durch Null!
Es kann also passieren, daß für manche konkrete Wahl der Variablen
ein Term nicht definiert ist. (Setzen Sie z.B. x = 2, y = 0 im ersten dieser
Terme, a = 3, b = 3 im zweiten und u = 0, v = 5, w = 5 im dritten ein!)
Aber das soll uns im Moment nicht weiter stören. Wir einigen uns darauf, in
einen Bruchterm nur solche Zahlen einzusetzen, für die der Nenner nicht Null wird.
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Division durch 0
| |
| | |
Da die Potenz eines Bruchs der Bruch der Potenzen ist,
gilt immer
|
|
æ
ç
è
|
|
a
b
|
|
ö
÷
ø
|
n
|
= |
an
bn
|
. |
| (14) |
| | | |
Potenz eines Bruchs
| |
| | |
Wir werden uns weiter unten mit der Bruchrechnung von Termen
beschäftigen.
Terme mit Wurzeln
Terme dürfen auch Wurzeln enthalten,
wie z.B.
|
|
| _____
Ö x + 6
|
+ |
| _____
Ö x - 2
|
, |
| (15) |
| | | |
Wurzeln
| |
| | |
wobei hier zu bedenken ist, daß eine negative Zahl keine Wurzel
besitzt. So hat dieser Term für x = 3 den Wert 4 (rechnen Sie nach!),
ist aber für x = 1 nicht definiert (rechnen Sie auch das nach!).
Zwei nützliche Rechenregeln im Zusammenhang mit Brüchen:
- Die Wurzel eines Produkts ist das Produkt der
Wurzeln:
Ö(a b) = Öa Öb.
-
Die Wurzel eines Bruchs ist der Bruch der
Wurzeln aus Zähler und Nenner:
Ö(a / b) = Öa / Öb.
(Aus drucktechnischen Gründen wird der Oberstrich manchmal weggelassen, sodaß die
Wurzel aus a als
Öa geschrieben
wird).
Wir betonen nochmals, daß ein Term erst dann zu einer Zahl wird,
wenn konkrete Zahlen anstelle der Variablen
eingesetzt werden. Welchen Wert ein Term dann annimmt, hängt von den
eingesetzten Zahlenwerten der Variablen ab.
(So hängt z.B. der Wert des Terms x2 + x + 1 davon ab,
welche Zahl für x eingesetzt wird).
Solche Abhängigkeiten sind in der modernen Mathematik extrem wichtig.
Wir werden sie später als Funktionen
bezeichnen.
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Funktionen
| |
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Nun wissen wir, was ein Term ist, aber was fangen wir damit an?
Eine Anwendung haben wir bereits oben gesehen:
Rechenregeln für den Umgang mit
reellen Zahlen lassen sich mit Hilfe von Variablen und Termen sehr einfach
hinschreiben. Sie haben alle dieselbe Grundstruktur - sie bestehen aus
zwei Termen, die zwar verschieden aussehen, aber dennoch immer zum
selben Resultat führen, wenn konkrete Zahlen für die
Variablen eingesetzt werden.
Solche Aussagen heißen Identitäten.
Wann immer die Variablen durch konkrete Zahlen ersetzt werden, reduzieren sich
Identitäten auf wahre Aussagen.
Die Aussagen (2), (3), (4), (6),
(8), (9), (10) und (14) sind
Beispiele für Identitäten. Wir können sie auch benützen, um weitere
Regeln aufzustellen, die immer gelten. So ist z.B.
|
x ( y2 + z2 ) = x y2 + x z2, |
| (16) |
was eine einfache Folgerung aus (4) ist: Die Regel (4)
wurde hier nicht für a, b, c angeschrieben, sondern für x, y2, z2, aber
das ist ebenso zulässig, denn diese drei Terme sind ja selbst wieder Zahlen,
wann immer für x, y, z konkrete Zahlenwerte angenommen werden.
Folglich handelt es sich bei (16) wieder um eine Identität. Um sicherzugehen,
daß wir keinen Fehler gemacht haben, können wir eine Probe machen.
Setzen wir irgendwelche Zahlenwerte an, z.B.
x = 3, y = 2 und z = 5, und berechnen wir beide Seiten dieser Aussage separat:
linke Seite:
|
3 ( 22 + 52 ) = 3 ( 4 + 25 ) = 3 × 29 = 87 |
| (17) |
rechte Seite:
|
3 × 22 + 3 × 52 = 3 × 4 + 3 × 25 = 12 + 75 = 87, |
| (18) |
womit die Probe geglückt ist. Wichtig ist es, bei einer Probe
beide Seiten unabhängig voneinander zu
berechnen und nicht etwa Klammern auszumultiplizieren - denn dann
könnten wir einen möglichen Fehler mit den eingesetzten Zahlen wiederholen und
gar nicht bemerken.
Identitäten dienen zwei Zwecken: Einserseits können sie tiefe Einblicke
in die Eigenschaften der Zahlen geben, und andererseits können sie schlicht und
einfach praktisch sein.
Heben wir uns die Einblicke noch ein bißchen auf und betrachten wir
ein Beispiel für den nützlichen Aspekt, auf das wir
in diesem Kapitel nach ein paar mal zurückkommen werden:
Wie groß ist die Fläche der Außenmauer eines Hauses
(das der Einfachheit halber
keine Türen und Fenster haben soll)? Werden Länge und Breite des Grundrisses mit a und b,
die Höhe mit h bezeichnet, so besteht die Außenmauer aus vier Rechtecken,
und die Fläche ergibt sich durch Addition der vier Teilflächen zu
Niemand wird in der Praxis diesen Ausdruck verwenden, um die Fläche zu berechnen, denn
er läßt sich erheblich vereinfachen.
Versuchen Sie selbständig, sich davon zu überzeugen, daß die Aussage
|
a h + b h + a h + b h = 2 h (a + b) |
| (20) |
eine Identität ist, d.h. daß sie für alle konkreten Zahlenwerte
für a, b und h wahr ist!
Daher kann die Fläche auch als
geschrieben werden, und dieser Ausdruck enthält weniger Multiplikationen und sieht
auch rein optisch übersichtlicher aus als (19).
Wie haben also die Identität (20) benützt, um den Ausdruck
für die Fläche des Hauses zu vereinfachen
(oder, wie man auch sagt, umzuformen - wir werden
die wichtigsten praktischen Regeln für das Umformen von
Termen unten genauer besprechen).
Identitäten, also Rechenregeln, machen es uns leicht, gewisse Terme
als ''praktisch gleich'' zu erkennen, als ''dieselbe Sache, nur anders angeschrieben''.
Es ist bequem, Terme wie (19) und (21) als ''gleich'' anzusehen,
bestenfalls als unterschiedlich angeschriebene Varianten voneinander.
In Identitäten können nicht nur konkrete Zahlen anstelle der Variablen
eingesetzt werden, sondern auch Terme, da ja auch in diesen Termen jede Variable
für eine Zahl steht. So ist z.B. die Aussage
|
(a + 2) ( u2 + w2 ) = ( u2 + w2 ) (a + 2) |
| (22) |
eine Folge der Identität x y = y x, wobei anstelle von x und y
die Terme a + 2 und u2 + w2 eingesetzt wurden. Sie ist also selbst eine Identität,
d.h. für alle Zahlenwerte von a, u und w eine wahre Aussage.
Auf diese Weise können aus einfachen Identitäten kompliziertere gefunden werden.
Jede Identität kann als bewiesener mathematische Satz angesehen
werden.
Zur Schreibweise: Manchmal wird das Symbol º (ausgesprochen: "identisch")
verwendet, um Identitäten (insbesondere solche, die ohne weitere Rechnung unmittelbar einsichtig sind)
anzuzeigen. Wenn Sie etwa irgendwo die Aussage a × a
º a2
sehen, so ist damit einfach gemeint, dass das Produkt von a mit sich
selbst auch abgekürzt als a2 angeschrieben
werden kann. In diesem Fall kann das Symbol º als
"unmittelbar identisch" gelesen werden. Es wird aber bisweilen auch dazu verwendet, um Definitionen
zu kennzeichnen (siehe unten).
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Eine Formel ist ein Term, der irgendeine interessante Größe darstellt.
(Es liegt dann eine Formel für diese Größe vor).
Manchmal werden auch ganz allgemein mathematische Aussagen, in denen Terme vorkommen
(wie z.B. Identitäten) als Formeln bezeichnet. Der Begriff ist ein bißchen unscharf.
(Wenn Sie ein Mathematik- oder Physikbuch aufschlagen, erkennen Sie auf den ersten Blick,
daß es ''voller Formeln'' ist. Und wenn Sie vor lauter Symbolen dann
den Überblick verlieren,
werden Sie vielleicht von ''Formelsalat'' sprechen).
Formeln treten oft als Abkürzungen auf, die uns Schreibarbeit ersparen.
So kann z.B. der Term
als
geschrieben werden, wobei A für a + b und B für r - t steht. Die Zuweisungen
sind Formeln, die einfach bequeme Abkürzungen (d.h.
Definitionen der Größen A und
B) darstellen.
Anhand eines Applets
können Sie das Einführen von Abkürzungen üben.
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Applet
Strukturen
erkennen 1
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Formeln werden auch dazu benützt, um Erkenntnisse
(also mathematische Aussagen) kurz und bündig auszudrücken.
So ist z.B. die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b durch das
Produkt a b gegeben. Bezeichnen wir die Fläche mit dem Buchstaben F, so
können wir die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks als
schreiben. Einige weitere Beispiele: Die Fläche eine Kreises mit
Radius r ist durch
und die Länge seines Umfangs durch
gegeben. Volumen und Oberfläche einer Kugel mit Radius r sind
|
V = |
4p
3
|
r3 und F = 4pr2. |
| (29) |
Formeln können als kompakte Mitteilungen nützliche Dienste leisten. Beispiel:
Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen a, b und c kann mit Hilfe
der Formel
|
F = |
| __________________
Ö s (s - a) (s - b) (s - c)
|
|
| (30) |
berechnet werden, wobei s für den halben Umfang steht:
s = 1/2 (a + b + c).
Sie heißt Heron'sche Flächenformel
und war - wie der Name sagt - schon in der Antike bekannt.
Mit ein bißchen Geometrie kann man verstehen, warum sie gilt.
Sie kann aber auch ganz ohne Verständnis
angewandt werden. Wir berechnen z.B. den Flächeninhalt eines Dreiecks, dessen
Seitenlängen 5, 6 und 7 sind: Mit a = 5, b = 6 und c = 7
ergibt sich s = 9, und damit ist die Fläche
|
| |
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|
|
| __________________
Ö9 (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7)
|
|
| |
|
|
|
| ___________
Ö9 × 4 × 3 × 2
|
|
| (31) | |
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|
Ist so eine Formel erst einmal hingeschrieben, nimmt sie den Charakter einer
sturen Input-Output-Maschine an: In unserem Beispiel füttern wir Zahlenwerte für
a, b und c hinein und bekommen die Fläche des Dreiecks heraus.
Das Verständnis für das Zustandekommen einer Formel mag schwer zu erlangen sein,
ihre Anwendung ist aber in der Regel leicht.
Für AnwenderInnen ist eine Formel lediglich eine Anweisung für Berechnungen.
Darin besteht ihre Nützlichkeit in vielen Bereichen von Wissenschaft, Technik und
Wirtschaft.
Beim Umgang mit Formeln muß manchmal
eine Sache berücksichtigt werden, die wir bis jetzt
unter den Teppich gekehrt haben: Variablen stehen nicht nur für Zahlen,
sie können auch Einheiten tragen. Das ist z.B. besonders wichtig, wenn es um
physikalische Formeln geht. Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können
Sie einige Bemerkungen über das Rechnen mit Einheiten aufrufen.
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Sie können Ihr Gefühl für Einheiten überprüfen, indem Sie
den nebenstehenden Button anklicken und einen mathematischen Scherz
aufklären.
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Formeln können mit Hilfe von Identitäten verschönert werden.
Wir haben oben einen solchen Fall kennengelernt:
Die Fläche der Außenmauer eines Hauses ist durch
|
F = a h + b h + a h + b h. |
| (32) |
gegeben (a, b = Länge und Breite des Grundrisses, h = Höhe).
Aufgrund der Identität (20) waren wir in der Lage, sie in der
schöneren Form
zu schreiben.
Wir erwähnen abschließend, dass das Symbol º, das wir oben
bei den Identitäten kennengelernt haben, bisweilen auch für Abkürzungen (Definitionen) verwendet wird.
Formel (27) könnte damit auch in der Form
F º pr2
geschrieben werden.
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Rechnen mit Klammern - ausmultiplizieren und herausheben
Identitäten werden
- wie das obige Beispiel der Fläche der Außenmauer eines Hauses zeigt -
zur Umformung von Termen benützt.
Oft ist es nützlich oder notwendig, mehrere Umformungs-Schritte hintereinander auszuführen.
Beginnen wir etwa mit dem Term
3 (x + 2) - 2 x. Eine Möglichkeit, ihn zu vereinfachen,
besteht darin, zuerst die Klammer aufzulösen (den 3er ''hineinzumultiplizieren'' - das ist
nichts anderes als die Anwendung des Distributivgesetzes), dann die Reihenfolge
der Bestandteile zu vertauschen (Kommutativgesetz der Addition) und
schließlich Vielfache von x zusammenzufassen (Distributivgesetz).
Die ausführliche Rechnung sieht dann so aus:
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3 x + 6 - 2 x = 3 x - 2 x + 6 |
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All diese Ausdrücke ergeben denselben Wert, wenn für x eine Zahl eingesetzt wird.
(Machen Sie die Probe mit x = 4 !) Der letzte ist ohne Zweifel der einfachste
(der ''schönste''). In der Praxis wird man sich das Anschreiben mancher
Einzelschritte sparen, wenn man sie im Kopf durchführen kann. Üblicherweise
sieht die Rechnung dann so aus:
|
3 (x + 2) - 2 x = 3 x + 6 - 2 x = x + 6. |
| (35) |
Manchmal - so wie im gerade betrachteten Beispiel - vereinfachen sich Terme, wenn
alle Klammern ausmultipliziert werden. In anderen Fällen ist
es günstiger, das Gegenteil zu erreichen. Falls ein Term eine Summe darstellt, deren
Bestandteile (Summanden) einen gemeinsamen Faktor besitzen, kann man diesen
''herausheben''. Beispiel: Die Summanden des Terms x + x y + x2 haben x
als gemeinsamen Faktor. Daher können wir schreiben
|
x + x y + x2 = x (1 + y + x), |
| (36) |
wodurch für ein einigermaßen an diese Dinge gewöhntes Auge eine
Verschönerung eingetreten ist. (Der zweite Term kann in Worten so
beschrieben werden: ''Addiere x und y, zähle 1 hinzu, und multipliziere das
Resultat mit x !'' Versuchen Sie, auch den ersten Term in Worten zu beschreiben,
und Sie werden den Unterschied merken!) Auch im oben besprochenen Beispiel
der Fläche der Außenmauer eines Hauses wurde die Vereinfachung durch
Herausgeheben erzielt. Wird noch ein Zwischenschritt eingefügt,
so sieht die ausführliche Rechnung so aus:
|
a h + b h + a h + b h = 2 a h + 2 b h
= 2 h (a + b). |
| (37) |
Klammern ausmultiplizieren (auflösen) und Terme herausheben
sind entgegengesetzte Rechenvorgänge.Wir betonen nochmals, daß das Rechnen mit
Klammern auf elementaren Eigenschaften von Zahlen - wie z.B.
2×(4 + 7) = 2×4 + 2×7 - beruht, denn alle
Variablen stehen ja für Zahlen!
In der Praxis wird uns oft das Gefühl sagen müssen, welche Umformungen eines Terms
die sinnvollsten sind. Beispiel:
|
2 x + 2 y + 2 z + 1 = 2 (x + y + z) + 1 . |
| (38) |
Klammern ausmultiplizieren und herausheben können also
auch auf Teile eines Terms angewandt werden.
Hier bleibt es ein bißchen Geschmackssache, welcher der beiden
Terme ''schöner'' ist.
Ein wichtige, sehr oft auftretende Situation besteht, wenn zwei
Klammerausdrücke multipliziert werden, wie z.B. im Fall des Terms
Auch hier können die Klammern ausmultipliziert werden. Belassen wir den Term
(x + y) zunächst als Klammerausdruck stehen und wenden die Regel für das
Klammern-Ausmultiplizieren auf (a + b) an. Wir erhalten
|
(a + b) (x + y) = a (x + y) + b (x + y), |
| (40) |
was durch weiteres Klammern-Ausmultiplizieren zu
führt. Wir erhalten also die Identität
|
(a + b) (x + y) = a x + a y + b x + b y. |
| (42) |
Betrachten wir sie einen Moment: Sie besagt, daß beim Berechnen des Produkts von
Summen jeder Summand aus der ersten Klammer mit jedem Summand aus der zweiten Klammer
multipliziert werden muß. Diese Regel sollten Sie sich merken!
Drei Beispiele für diese Regel:
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3ab + 3a×(-2a) + wb + w×(-2a) |
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9a2 - 6a - 3a + 2 = 9a2 - 9a + 2 , |
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wobei wir die ersten zwei Beispiel ausführlicher, das dritte etwas kompakter angeschrieben
haben. Beachten Sie, wie mit den Minuszeichen umgegangen wird.
Sie sollten generell bei derartigen Rechnungen so viele Zwischenschritte anschreiben, wie Sie
benötigen, um den Überblick nicht zu verlieren.
Im Laufe der Zeit werden sich viele
Rechenregeln soweit automatisieren, daß Sie mehrere Schritte im Kopf durchführen und
nur wenig hinschreiben werden.
Dasselbe Verfahren kann angewandt werden, wenn die Klammerausdrücke aus mehr als
zwei Summanden bestehen, und wenn mehr als zwei solche Ausdrücke miteinander multipliziert
werden sollen. (Siehe nebenstehenden Button für zwei Beispiele).
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Ein weiteres Beispiel betrifft die Struktur von Termen wie
|
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9. |
| (46) |
Hier können wir leicht auf ein überraschendes Resultat stoßen.
(Siehe nebenstehenden Button).
Mit seiner Hilfe werden wir später unendliche Summen betrachten.
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Grenzprozesse
(in Vorbereitung)
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Klammern ausmultiplizieren ist also ein sturer Prozeß, ein Rezept,
das nicht viel Nachdenken erfordert, sondern nur etwas Überblick
(Buchhaltung der auftretenden Variablen und Zahlen).
Es kann leicht automatisiert werden.
Computer-Algebra-Systeme (CAS) wie
Mathematica
oder
Maple
sind sehr mächtige Werkzeuge, zu deren einfachsten
Fähigkeiten das fehlerfreie Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken zählt.
Aber auch das vergleichsweise schwächere Programm
DERIVE
- das an vielen
Schulen zur Verfügung steht - und die
kompakten Rechner
TI-92
und
TI-89/Voyage 200
können dies.
Versuchen Sie, trotz der Existenz solcher Hilfsmittel,
prinzipiell zu verstehen, was beim Rechnen mit Klammern passiert!
Achtung: Das Ausmultiplizieren von Klammern ist eine Technik, die
angewandt werden kann, aber durchaus nicht immer
sinnvoll ist. (Insbesondere,
wenn das Resultat unübersichtlicher ist als der ursprüngliche Term).
Beim kreativen Umgang mit mathematischen Ausdrücken ist es daher nicht sinnvoll,
jede Klammer reflexartig auszumultiplizieren.
Faktorisieren
Manchmal stellt sich sogar das umgekehrte
Problem: Es ist ein Term gegeben, und man würde gern wissen,
ob er sich als Produkt mehrerer Ausdrücke schreiben läßt
(d.h., ob er sich faktorisieren läßt).
Beispiel: Gegeben sei der Term
Nehmen Sie ein Blatt Papier zur Hand und überzeugen Sie sich, daß er nichts
anderes ist als die ausmultiplizierte Version von
Weiteres Beispiel: Gegeben sei der Term
Nehmen Sie ein Blatt Papier zur Hand und überzeugen Sie sich, daß er nichts
anderes ist als die ausmultiplizierte Version von
Welchen der beiden Terme (49) oder (50) finden Sie einfacher?
Leider ist es nicht immer leicht, festzustellen, ob ein gegebenen Term
tatsächlich ein Produkt von (einigermaßen einfachen) Ausdrücken
ist oder nicht. So ist z.B. im Fall des Terms
x3 - 6 x2 + 11 x - 5 die Antwort negativ. Er läßt sich zwar als Produkt
schreiben, aber die Faktoren sind sehr kompliziert. (Wir schreiben sie gar nicht hin!)
Einige Regeln, die uns derartige Betrachtungen erleichtern, werden wir
weiter unten kennenlernen,
wenn wir häufig auftretende Identitäten (die sogenannten Binomischen Formeln)
besprechen.
Ein systematisches Verfahren für einfache Terme liefert
der ''Satz von Vieta'', mit dem wir
uns in einem späteren Kapitel beschäftigen werden.
Ein weiteres Verfahren läft darauf hinaus,
Polynome durcheinander zu dividieren und einen "Rest" zu ermitteln, ähnlich wie
dies für Zahlen möglich ist. Wir werden es später
kennenlernen.
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Satz von Vieta
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Computer-Algebra-Systeme können auch hier weiterhelfen. So bietet z.B.
das
MathServ Project
an der Vanderbilt University eine Web-Seite zum Faktorisieren von Polynomen:
Sie können ein Polynom eingeben, und das Programm
(das Computer-Algebra-System
Mathematica)
findet
heraus, ob es als Produkt einfacher Faktoren geschrieben werden kann. (Ein "einfacher"
Faktor ist dabei in der Regel einer, der mit ganzen Zahlen als Koeffizienten
- und gegebenenfalls der Division durch eine ganze Zahl - auskommt. Die Auswahl
''Gaussian Integers'' auf dieser Web-Seite betrifft ein Zahlensystem,
das wir später besprechen werden, die komplexen Zahlen).
Versuchen Sie es mit dem Polynom (49)!
(Dazu tippen - oder pasten - sie einfach x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6 in das Textfeld).
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Komplexe Zahlen
(in Vorbereitung)
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Umformen von Bruchtermen
Wenden wir uns nun Termen zu, in denen dividiert wird, also Bruchtermen.
Bei deren Umformungen gelten dieselben Regeln,
die wir für die Bruchrechnung mit Zahlen kennengelernt haben.
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Bruchrechnen
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Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie einige Bemerkungen und
Beispiele zum Rechnen mit Bruchtermen aufrufen.
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Das Kürzen von Bruchtermen ist eine wichtige Sache und
gibt immer wieder Anlaß zu Mißverständnissen.
Bitte beachten Sie, daß Sie nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner
kürzen dürfen.
So ist z.B. die Rechnung
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4a + 14b
2x - 6
|
= |
2a + 7b
x - 3
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| (51) |
richtig: Es wurde durch 2 gekürzt: jeder Summand in Zähler und Nenner wurde durch
2 dividiert. Dieselbe Rechnung kann ausführlicher als
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4a + 14b
2x - 6
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= |
2 (2a + 7b)
2 (x - 3)
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= |
2 (2a + 7b)
2 (x - 3)
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= |
2a + 7b
x - 3
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geschrieben werden: Hier ist 2 als gemeinsamer Faktor ganz deutlich erkennbar.
Hingegen ist die Rechnung
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5a + b
5x - 1
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= |
a + b
x - 1
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| (53) |
falsch: Es wurde nicht durch 5 gekürzt, da 5 gar kein gemeinsamer Faktor von
Zähler und Nenner ist! (Machen Sie die Probe für a = b = 1 und x = 2 !)
Genau dieselbe Regel gilt, wenn Sie durch Variable oder ganze Terme kürzen.
Richtig ist:
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x3 + 2x
x2 - x
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= |
x2 + 2
x - 1
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| (54) |
(es wurde durch x gekürzt). Falsch ist:
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a x + 1
a x - 1
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= |
a x + 1
a x - 1
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= |
x + 1
x - 1
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. |
| (55) |
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Häufig auftretende Identitäten:
die Binomischen Formeln
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Einige Identitäten werden so oft bei verschiedensten Gelegenheiten benützt, daß wir
sie hier eigens zusammenstellen. Sie können sie mit Hilfe der im vorigen
Abschnitt besprochenen Methoden leicht selbst überprüfen.
Folgende drei Identitäten - sie werden Binomische Formeln genannt -
sollten Sie auswendig anwenden können:
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(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 |
| (56) |
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(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 |
| (57) |
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(a + b) (a - b) = a2 - b2 |
| (58) |
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Der Name dieser Formeln rührt daher, daß die Summe
a + b
als "Binom" bezeichnet werden kann.
Typische Anwendungen dieser Identitäten sind nicht nur das Ausmultiplizieren
von Klammern, wie z.B. die Berechnung
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(2 u - 3)2 = (2u)2 - 2 × (2 u) × 3 + 32 = 4 u2 - 12 u + 9 |
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aufgrund von (57) mit a = 2 u und b = 3,
sondern auch das umgekehrte Problem, einen gegebenen Term als
Produkt zu schreiben, also das Faktorisieren. Beispiel: Kann der Term
als Produkt geschrieben werden? Antwort: Ja, denn aufgrund von (58),
wenn a = x y und b = 2 gesetzt wird, ergibt sich die Identität
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x2 y2 - 4 = (x y + 2) (x y - 2). |
| (61) |
Erschrecken Sie nicht - mit ein bißchen Übung können Sie einen Blick
für derartige Strukturen entwickeln.
Die Identität (58) sagt, in Worten ausgedrückt, aus, daß sich
jede Differenz zweier Quadrate als Produkt darstellen läßt.
Erkennen Sie, daß der Term
(60) eine Differenz zweier Quadrate ist?
Zweites Beispiel: Kann
als Produkt geschrieben werden? Antwort: Ja, denn aufgrund von (56),
wenn a = x und b = 1 gesetzt wird, ergibt sich die Identität
Sie sehen, daß die Identitäten (56), (57) und (58)
- ''von links nach
rechts'' (Klammern ausmultiplizieren) und
- ''von rechts nach links'' (Terme als Produkt schreiben, d.h. faktorisieren)
gelesen werden können, je nachdem, wofür man sie gerade
benötigt.
Ein Beispiel dafür, wie sich die Identität (56) in
einem einfachen Kontext anwenden läßt, ist eine verblüffend einfache
Regel für das Quadrieren einer natürlichen Zahl, deren Einerstelle 5 ist (siehe
nebenstehenden Button).
Weiter unten werden wir die Binomischen Formeln verallgemeinern.
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Dieser Abschnitt ist sehr wichtig.
In der Mathematik möchte man oft einen Term - mit welchen Mitteln auch immer -
so umzuformen, daß seine Struktur möglichst auf einen Blick ersichtlich ist.
Was ist eigentlich die ''Struktur'' eines Terms? Was kann daran ''erkannt'' werden?
Terme müssen mit einem ganz besonderen Blick betrachtet werden, ansonsten bleiben
sie ungelöste Rätsel. Dazu gehört auch ein bißchen Übung.
Manchen Termen können von vornherein gewisse Eigenschaften angesehen werden.
So ist z.B. der Term
immer nicht-negativ, ganz gleich, welche (reelle) Zahl für x eingesetzt wird.
Denn das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein.
Ist x = 0, so ist (64) auch Null, ansonsten immer positiv.
Daher ist auch der Term
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