Trigonometrie - Mathematische Hintergründe

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Trigonometrie

Zusammenfassung:

Die ebene Trigonometrie studiert die Geometrie von Dreiecken in der Ebene. Insbesondere interessieren die Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln. Unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Winkelfunktionen sind es vor allem zwei Methoden, genannt Sinussatz und Cosinussatz, die die rechnerische Lösung so genannter "Vermessungsaufgaben" ermöglichen. Die sphärische Trigonometrie untersucht die Geometrie von Dreiecken, die auf einer Kugeloberfläche leben.

Stichworte:

Dreiecke, Winkel und Winkelfunktionen

Die Trigonometrie (genauer: ebene Trigonometrie) oder Dreiecksgeometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, das sich mit Dreiecken beschäftigt. Sie entstand vor allem aus der frühen Astronomie, hat aber neben der Himmelsvermessung auch zahlreiche irdische Anwendungen gefunden.

Warum ausgerechnet Dreiecke?

Dreiecke sind in der Geometrie besonders wichtig, da beliebige durch Strecken oder Geraden begrenzte ebene Figuren in Dreiecke zerlegt werden können. In gewisser Weise bilden sie die "Atome" in der Welt dieser Figuren. Daher können Methoden der Dreiecksgeometrie zur Lösung einer Vielzahl komplexer geometrischer Fragestellungen angewandt werden. Das wird unter anderem auch durch die so genannten "Vermessungsaufgaben", auf die wir weiter unten zu sprechen kommen, illustriert.

Winkel und Winkelmaße
Wir wollen Winkel in diesem Kapitel immer im Gradmaß (Altgrad) angeben, in dem der volle Winkel 360° beträgt. Um Teile von Graden zu bezeichnen, kann entweder die Dezimaldarstellung oder die Unterteilung

1° = 60' º 60 (Winkel-)Minuten und
1' = 60'' º 60 (Winkel-)Sekunden

verwendet werden. (So ist beispielsweise 72.5° = 72° 30'). Man könnte aber genausogut das Bogenmaß verwenden, in dem der volle Winkel 2p beträgt. In der Landvermessung wird häufig das Neugradsystem verwendet, in dem der volle Winkel 400^g (100 Neugrad oder gon) mißt, mit der (dezimalen) Unterteilung

1^g = 100^c º 100 Neuminuten und
1^c = 100^cc º 100 Neusekunden.

Auf Taschenrechnern kann üblicherweise mit Hilfe der Taste "DRG" (für deg, rad und grad) zwischen diesen Systemen umgeschaltet werden. Falls Sie ein Computerwerkzeug verwenden, das Winkelfunktionen nur im Bogenmäß verarbeitet, müssen Sie entsprechende Umrechnungsfaktoren verwenden, z.B.
Winkel im Bogenmaß = Winkel im Gradmaß × p/180°.

Die Rolle der Winkelfunktionen

Bogenmaß

Zahlreiche interessante und nützliche Beziehungen in Dreiecken, vor allem jene zwischen Winkeln und Seiten, können nicht durch elementare Rechenoperationen ausgedrückt werden. Sie erfordern neue, für diese Zwecke maßgeschneiderte Techniken, den Formalismus der Winkelfunktionen, den wir in einem früheren Kapitel besprochen haben.

Für das Folgende sollten Sie mit den Begriffen Sinus und Cosinus vertraut sein und sie für Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck anwenden können. Auch die inversen Winkelfunktionen Arcus Sinus und Arcus Cosinus werden an einigen Stellen eine Rolle spielen. Wichtig im Zusammenhang mit diesen beiden ist:

Winkelfunktionen

Liegt a zwischen 0° und 180° und ist x º sina bekannt, so ist a entweder durch asinx (£ 90°) oder durch 180° - asinx (³ 90°) gegeben.
Liegt a zwischen 0° und 180° und ist y º cosa bekannt, so ist a durch acosy gegeben.

Bei der Berechnung eines Winkels aus seinem Sinus muss also immer ein bisschen nachgedacht werden, ob es sich nun um den spitzen oder den stumpfen handelt. Das geht in der Regel aus dem konkreten Zusammenhang hervor.

Arcus-Funktionen

Elementare Dreieckseigenschaften

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In diesem Abschnitt wollen wir einige elementare Eigenschaften von Dreiecken, deren Formulierung keine Winkelfunktionen benötigen zusammenstellen. Einige dieser Themen werden Ihnen wahrscheinlich in Ihrer bisherigen Mathematik-Ausbildung bereits begegnet sein.

Grundbegriffe, Dreieckstypen und Bezeichnungen

Ein Dreieck ist durch drei Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Graden liegen (die Eckpunkte) gegeben. Die Strecken, die diese drei Punkte verbinden, bilden die Seiten des Dreiecks. Wird eine Strecke zu einer Gerade verlängert, so wird diese oft auch als Seite(nline) bezeichnet. Die Abstände zwischen den Eckpunkten sind die Seitenlängen, sie werden ebenfalls kurz als Seiten bezeichnet. Daneben spielen zwei Arten von Größen in der Trigonometrie eine besondes wichtige Rolle: Winkel und Höhen.

Unter Winkel wird in einem Dreieck immer der Innenwinkel verstanden, kann also nicht größer sein als 180°. Wichtig ist der folgende Satz, der Ihnen wahrscheinlich bereits bekannt ist:

Die Summe der Winkel (Winkelsumme) ist in jedem Dreieck 180°.
(1)

(Für einen Beweis klicken Sie auf den Button rechts).
Die Höhe(nlinie) "auf eine Seite" ist jene Gerade, die auf diese Seite normal steht und durch den ihr gegenüberliegenden Eckpunkt geht. Die Strecke zwischen Eckpunkt und gegenüberliegender Seite wird ebenso wie deren Länge (d.h. der Normalabstand des Eckpunkts zur gegenüberliegenden Seite) kurz als Höhe bezeichnet. Auf den Begriff des Höhenschnittpunkts, den Sie wahrscheinlich schon kennen, werden wir weiter unten stoßen.

Wie Sie sehen, ist der Sprachgebrauch hier ein bisschen schlampig: Die Worte "Seite" und "Höhe" können eine Strecke, eine Gerade oder eine Länge bezeichnen. In der Regel geht aus dem Zusammenhang hervor, was gemeint ist.

Zur Bezeichnung von Eckpunkten, Seiten, Winkeln und Höhen hat sich eine nützliche Konvention herausgebildet: Lauten die Seitennamen a, b und c (sie werden dann im Gegenuhrzeigersinn vergeben), so wird die Seite c meist waagrecht (als "Grundlinie") gezeichnet. Die Eckpunkte werden mit den entsprechenden Großbuchstaben A, B und C bezeichnet, wobei A der Seite a gegenüberliegt, usw. Die Winkel werden dann mit a, b und g bezeichnet, wobei a der Winkel beim Punkt A ist, usw. Die (Länge der) Höhe auf die Seite c wird meist mit h_c bezeichnet, usw.

Zur Bezeichnung eines ganzen Dreiecks (z.B. um in einer Skizze, die mehrere Dreiecke enthält, eines zu benennen), werden die Namen der Eckpunkte aufgezählt. Man spricht dann beispielsweise vom "Dreieck ABC" oder schreibt einfach das Kürzel DABC. (Aber nicht verwechseln: Das Symbol D - der griechische Buchstabe "Delta" - wird auch für andere Dinge verwendet: Manchmal bezeichnet es einen Winkel, manchmal eine Änderung!).

Zur Benennung eines Winkels in einem Dreieck können auch die drei Eckpunkte angegeben werden, und zwar so, dass der mittlere den Scheitel des Winkels bezeichnet. So kann beispielsweise der Winkel a des obigen Dreiecks auch als "Winkel CAB" benannt oder, unter Verwendung des Winkel-Symbols, einfach in der Form CAB geschrieben werden.

Wir nennen ein Dreieck

gleichseitig, wenn alle seine Seiten gleich lang sind (was damit gleichbedeutend ist, dass alle Winkel gleich, d.h. 60°, sind),
gleichschenkelig, wenn es zwei gleich lange Seiten besitzt (was damit gleichbedeutend ist, dass es zwei gleiche Winkel besitzt),
rechtwinkelig, wenn es einen rechten Winkel (90°) besitzt,
spitzwinkelig, wenn alle seine Winkel spitz, d.h. kleiner als 90° sind und
stumpfwinkelig, wenn es einen Winkel besitzt, der stumpf, d.h. größer als 90° ist.

Der Begriff schiefwinkelig bezeichnet an und für sich ein Dreieck, das keinen rechten Winkel besitzt, wird aber oft für ein allgemeines Dreieck, d.h. für ein Dreieck, an das keine Bedingungen gestellt werden, verwendet.

In einem spitzwinkeligen Dreieck verläuft jede Höhe innerhalb des Dreiecks von einem Punkt bis zur gegenüberliegenden Seite, in einem stumpfwinkeligen Dreieck hingegen gilt das nur für eine Höhe, die beiden anderen liegen außerhalb des Dreiecks:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird meist mit dem Buchstaben A bezeichnet und ist durch die leicht zu merkende Formel

Fläche =

Grundlinie × Höhe

(2)

gegeben (für einen Beweis siehe den Button rechts). Wird die Seite c als Grundlinie gewählt, so ist A = ch_c/2. Wir werden daraus weitere Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks gewinnen, siehe unten (7), (11) und (14).

Themen aus der klassischen Geometrie

In der Trigonometrie benötigen wir einige geometrische Begriffe und Sachverhalte, die Ihnen wahrscheinlich in Ihrer bisherigen Mathematik-Ausbildung bereits begegnet sind. Lesen Sie im nebenstehenden Exkurs eine Zusammenfassung einiger besonders wichtiger Themen:

Strecken und Geraden
Wissenswertes über ebene geometrische Figuren
Kongruenz
Ähnlichkeit und der Strahlensatz
Satz von Pythagoras ("Pythagoräischer Lehrsatz")

Der letzte der besprochenen Punkte, der berühmte Satz von Pythagoras, ist von besonderer Wichtigkeit, und wir werden ihn in diesem Kapitel des Öfteren anwenden. Zwei Erweiterungen dieses Satzes, der Katheten- und der Höhensatz, werden weiter unten besprochen.

Satz von Thales (Thaleskreis)

Themen aus der
klassischen
Geometrie

Jedes

Dreieck, dessen Grundlinie der Durchmesser eines Kreises ist, und dessen dritter Eckpunkt (wie in der nebenstehenden Skizze gezeigt) auf der Kreislinie liegt, ist rechtwinkelig. Diese Aussage heißt Satz von Thales. Generell bezeichnet man einen Winkel, dessen Scheitel auf einer Kreislinie (altmodisch "Kreisperipherie") liegt, als Peripheriewinkel. Damit kann der Satz auch kurz so ausgedrückt werden:
"Jeder Peripheriewinkel im Halbkreis ist ein rechter".
Um ihn zu beweisen, klicken Sie hier: In der Skizze wird der Halbkreis zu einem Vollkreis und das Dreieck mit Hilfe eines zweiten Durchmessers zu einem Viereck vervollständigt. Letzteres ist ein Rechteck, da zwei Durchmesser eines Kreises immer ein Rechteck definieren. Damit ist der Satz bewiesen.

Er besitzt auch eine Umkehrung: Alle Punkte, von denen aus man eine gegebene Strecke unter einem rechten Winkel "sieht", liegen auf einer Kreislinie, für die die gegebene Strecke einen Durchmesser bildet.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Thales ist der Peripheriewinkelsatz, den wir weiter unten besprechen.

Besondere Punkte und Linien im Dreieck

Vier Punkte treten sowohl in praktischen Anwendungen als auch bei der theoretischen Erforschung der Dreieckseigenschaften immer wieder auf und werden gemeinsam als merkwürdige Punkte bezeichnet. Für die Beweise der folgenden Aussagen klicken Sie auf den Button rechts.

Über Höhen und Höhenlinien haben wir bereits oben gesprochen. In jedem Dreieck schneiden die Höhenlinien einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt.
Eine Gerade, die auf eine Seitenlinie normal steht und sie halbiert, heißt Seitensymmetrale. In jedem Dreieck schneiden die Seitensymmetralen einander in einem Punkt U. Da dieser Punkt von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, ist er der Umkreismittelpunkt, d.h. der Mittelpunkt jenes (eindeutigen) Kreises (genannt Umkreis), auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Der Radius R des Umkreises heißt Umkreisradius. Wir werden weiter unten zwei Formeln für ihn angeben, siehe (8) und (12).
Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt geht und den dort befindlichen Winkel halbiert, heißt Winkelsymmetrale oder Winkelhalbierende. In jedem Dreieck schneiden die Winkelsymmetralen einander in einem Punkt I. Dieser Punkt ist der Inkreismittelpunkt, d.h. der Mittelpunkt jenes (eindeutig bestimmten) Kreises (genannt Inkreis), der alle drei Seitenlinien von innen berührt. Der Radius r des Inkreises heißt Inkreisradius. Wir werden weiter unten zwei Formeln für ihn angeben, siehe (13) und (15).
Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt und den Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite geht, heißt Schwerlinie. In jedem Dreieck schneiden die Schwerlinien einander in einem Punkt S, dem so genannten Schwerpunkt. Physikalisch kann er als Massenmittelpunkt eines Systems aus drei gleich schweren Punktmassen, die an den Eckpunkten des Dreiecks sitzen, gedeutet werden.

Warum diese vier Punkte als "merkwürdig" bezeichnet werden, liegt unter anderem an Eigenschaften wie der folgenden, die drei von ihnen erfüllen:

In jedem Dreieck liegen Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt auf einer Geraden, der so genannten Eulerschen Geraden.

Das gleichseitige Dreieck

Es ist nützlich, zwei Tatsachen über das gleichseitige Dreieck zu kennen und sich zu merken. Die erste betrifft die Länge der Höhen (die natürlich alle gleich lang sind und einfach mit h bezeichnet werden).

Um sie zu berechnen, betrachten wir das in der nebenstehenden Skizze hervorgehobene (hellblaue) rechtwinkelige Dreieck und wenden entweder den Satz von Pythagoras an oder - das ist die kürzere Argumentation - schreiben den Cosinus des eingezeichneten Winkels von 30° als Quotient Ankathete/Hypotenuse (d.h. h/a), benutzen die Tatsache, dass

cos(30°) =

__
Ö 3

ist und schließen daraus

h =

__
Ö 3

(3)

spezielle Winkel

Die zweite Tatsache betrifft die Lage des Höhenschnittpunkts H: Er teilt jede Höhe im Verhältnis 2:1. Daraus ergibt sich der Umkreisradius zu 2h/3, der Inkreisradius zu h/3. Die Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis sowie der Schwerpunkt fallen aufgrund der Symmetrie mit H zusammen.

Sinussatz

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Wir haben die Sinusfunktion ursprünglich im rechtwinkeligen Dreieck kennengelernt: Der Sinus eines Winkels im rechtwinkeligen Dreieck ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse. Aber auch der Sinus eines Winkels in einem schiefwinkeligen Dreieck spielt eine nützliche Rolle.

Um sie zu erschließen, betrachten wir zunächst ein spitzwinkeliges Dreieck. Dann verläuft jede der drei Höhenlinien innerhalb des Dreiecks von einem Punkt zur gegenüberliegenden Seite. Wir wählen, wie in der nebenstehenden Skizze, die Höhenlinie auf die Seite c aus, um das Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke zu zerlegen. Die Höhe h_c tritt nun

im linken (hellblauen) rechtwinkeligen Dreieck als Gegenkathete des Winkels a und
im rechten (weißen) rechtwinkeligen Dreieck als Gegenkathete des Winkels b

auf. Dies versetzt uns in die Lage, ihre Länge auf zweierlei Arten berechnen zu können:

Im blauen Dreieck (in dem die Seite b die Rolle der Hypotenuse spielt) erhalten wir sina = h_c/b, daher h_c = bsina.
Im weißen Dreieck (in dem die Seite a die Rolle der Hypotenuse spielt) ergibt sich sinb = h_c/a, daher h_c = asinb.

Setzen wir diese beiden Resultate für h_c gleich, so erhalten wir die Beziehung

b sina = a sinb.

(4)

Wir können sie beispielsweise dazu benutzen, um b zu berechnen, wenn die Seite a und die beiden Winkel a und b gegeben sind.

Die gleiche Argumentation kann durchgespielt werden, wenn das Dreieck durch die Höhe auf a in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegt wird: In völlig analoger Weise ergibt sich die Beziehung csinb = bsing, und wenn wir dasselbe mit der Höhe auf b machen, erhalten wir csina = asing. (Dazu muss man eigentlich gar nichts rechnen, sondern nur die Symbole umbenennen, da die zugrunde liegenden geometrischen Situationen in allen drei Fällen vollkommen gleich sind).

Sinus und Cosinus

Die drei Beziehungen, die wir nun erhalten haben, gelten auch für Dreiecke, die einen rechten oder einen stumpfen Winkel besitzen. (Für einen Beweis im stumpfwinkeligen Dreieck klicken Sie auf den Button rechts). Wir haben mit ihnen eine in allen Dreiecken geltende Gesetzmäßigkeit entdeckt. Sie kann kompakter in der Form

sina

sinb

sing

(5)

geschrieben werden und trägt den Namen Sinussatz. In Worten kann er so ausgedrückt werden: In einem Dreieck sind alle drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich. Daraus folgt, dass sich zwei Seitenlängen so verhalten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkeln: Aus (5) ergeben sich

sina

sinb

(6)

und die analogen Beziehungen b/c = sinb/sing und c/a = sing/sina. Diese Beziehungen sind im Umgang mit Dreiecken so wichtig, dass Sie sie auswendig kennen sollten! Im nebenstehende Applet wird die Bedeutung der verschiedenen Verhältnisse, die in den Varianten (5) und (6) des Sinussatzes auftreten, anhand eines veränderbaren Dreiecks visualisiert.

Der Sinussatz wird in Vermessungsaufgaben oft benötigt. Darauf werden wir weiter unten in einem späteren Abschnitt eingehen.

Sinussatz, Flächeninhalt und Umkreisradius

Applet
Dreieck und Sinussatz

Dem Sinussatz entspringt eine Reihe nützlicher Beziehungen und Formeln zur Dreiecksberechnung. Insbesondere sind die in ihm auftretenden Größen eng verwandt mit dem Flächeninhalt und dem Umkreisradius eines Dreiecks:

Flächeninhalt des Dreiecks:
Gemäß Formel (2) ist der Flächeninhalt A eines Dreiecks durch "Grundlinie × Höhe/2" gegeben. Dabei es es gleichgültig, welche der drei Seiten als Grundlinie gewählt wird. Damit erhalten wir gleich drei Formeln A = ah_a/2 = bh_b/2 = ch_c/2. Mit ihrer Hilfe können wir die Dreiecksfläche leicht durch die Seiten und Winkel ausdrücken: Wir erinnern uns, dass wir bereits oben h_c = bsina berechnet haben, woraus sich A = bcsina/2 ergibt. Durch Anwendung des Sinussatzes (oder durch Berechnung der anderen Höhen) ergeben sich die drei Formeln

A =

absing

bcsina

casinb

(7)

für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks. Die Aussage, dass diese drei Ausdrücke gleich sind, ist lediglich eine andere Formulierung des Sinusatzes: Wird (7) durch abc/2 dividiert, so folgt unmittelbar (5).

Umkreisradius des Dreiecks:
Der Sinussatz (5) drückt aus, dass in jedem Dreieck die drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind. Hat diese Größe, die also auf dreierlei Arten als der Quotient "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" berechnet werden kann, eine geometrische Bedeutung? Ja - interessanterweise ist sie gleich dem Durchmesser des Umkreises, d.h. dem Doppelten des Umkreisradius R. Daher wird der Sinussatz auch manchmal in der Form

sina

sinb

sing

(8)

angeschrieben. Der Beweis (siehe den Button rechts, falls er Sie interessiert) benötigt den Peripheriewinkelsatz, auf den wir weiter unten zu sprechen kommen. Wir werden später eine weitere Formel für den Umkreisradius angeben, siehe (12).

Sinussatz und Ähnlichkeit

Am Sinussatz lassen sich sehr schön die Ähnlichkeitseigenschaften ebener geometrischer Figuren demonstrieren: Betrachten wir irgendein Dreieck mit beliebigen Seitenlängen und Winkeln, und betrachten wir dazu ein ähnliches, d.h. um einen beliebigen Faktor q "aufgeblasenes" oder "geschrumpftes" Dreieck. Der Sinussatz gilt natürlich für beide Dreiecke. Gehen Sie noch einmal zu den Formeln (5) und (6) zurück und überzeugen Sie sich, dass sie auch dann gültig bleiben, wenn jede Seitenlänge durch ihr q-faches ersetzt, die Winkel aber gleich gelassen werden! Insbesondere (6) illustriert auf diese Weise, dass Seitenverhältnisse in ähnlichen Figuren übereinstimmen.

Cosinussatz

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Der wohl bekannteste mathematische Satz über Dreiecke ist der Satz von Pythagoras. Er gilt aber nur in rechtwinkeligen Dreiecken: Ist beispielsweise der der Seite c gegenüberliegende Winkel g gleich 90°, so gilt c² = a² + b². (Sie werden gleich sehen, warum wir ihn "verkehrt herum" schreiben). Besitzt dieser Satz eine Verallgemeinerung, die in beliebigen Dreiecken gilt?

Ja, eine solche Verallgemeinerung existiert, und es ist gar nicht schwer, sie zu finden.

Betrachten wir zuerst ein spitzwinkeliges Dreieck. Ähnlich wie bei der obigen Herleitungs des Sinussatzes zerlegen wir es in zwei rechtwinkelige Dreiecke, wobei wir nun die Höhe auf die Seite b dazu benutzen. Wie in der nebenstehenden Skizze bezeichnen wir die Länge der Kathete des oberen (hellblauen) rechtwinkeligen Dreiecks, die einen Abschnitt der Seite b darstellt, mit b'. Unser Ziel ist es nun, c zu berechnen, wenn a, b und g bekannt sind. Dazu verwenden wir zwei uns bereits bekannte Beziehungen:

Im unteren (weißen) Dreieck gilt nach dem Satz von Pythagoras c² = h_b² + (b - b')².
Im oberen (hellblauen) Dreieck schreiben wir die Definitionen von Sinus und Cosinus des Winkels g in der Form h_b = asing und b' = acosg an.

Die letzten beiden Beziehungen setzen wir in den Ausdruck für c² ein und erhalten c² = a²sin²g + (b - acosg)². Damit ist das Ziel eigentlich erreicht (c durch a, b und g auszudrücken). Der erhaltene Ausdruck für c² lässt sich noch ein bisschen verschönern, indem die Klammer ausmultipliziert und die Identität sin²g + cos²g = 1 benutzt wird:
c² = a²sin²g + b² - 2abcosg + a²cos²g = a² + b² - 2abcosg.
Unser Resultat lautet also: c² = a² + b² - 2abcosg. Es kann dazu benutzt werden, c zu berechnen, wenn die beiden anderen Seitenlängen und der der Seite c gegenüberliegende Winkel g bekannt sind.

Die gleiche Argumentation kann durchgespielt werden, wenn das gegebene Dreieck durch eine der beiden anderen Höhen zerlegt wird. Dazu muss man gar nichts rechnen, sondern nur die Symbole umbenennen, da die zugrunde liegenden geometrischen Situationen in allen drei Fällen vollkommen gleich sind. Die gleichen Resultate ergeben sich auch für stumpfwinkelige Dreiecke. (Für einen Beweis klicken Sie auf den Button rechts). Damit haben wir drei Beziehungen gefunden, die in jedem Dreieck gelten:

c² = a² + b² - 2abcosg

(9)

a² = b² + c² - 2bccosa

(9')

b² = c² + a² - 2cacosb

(9'')

Sie werden unter dem Namen Cosinussatz zusammengefasst. In jeder dieser drei Formeln wird das Quadrat der Länge einer Seite durch den Cosinus des ihr gegenüberliegenden Winkels und die Längen der beiden anderen Seiten ausgedrückt.

Wenn Sie mit Vektoren vertraut sind und den Begriff des Skalarprodukts kennen, können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons einen kürzeren und eleganteren Beweis des Cosinussatzes aufrufen.

Skalarprodukt

mit Vektoren

Spezialfälle:

Da cos(90°) = 0 ist, folgt: Ist einer der Winkel ein rechter, so reduziert sich diejenige Formel, die seinen Cosinus enthält, auf den Satz von Pythagoras. Ist etwa g = 90°, so wird (9) zur Aussage c² = a² + b². Worauf reduzieren sich in diesem Fall die Beziehungen (9') und (9'')?
Eine interessante Folgerung ergibt sich auch, wenn wir den Grenzfall eines "zusammengeklappten" (oder "ausgearteten") Dreiecks betrachten, in dem einer der Winkel 0 ist. Setzen wir etwa g = 0 und verwenden cos0 = 1, so reduziert sich (9) auf die Aussage c² = (a - b)². Können Sie interpretieren, was das bedeutet? Worauf reduzieren sich die Beziehungen (9') und (9'')?

Ebenso wird der Sinussatz wird der Cosinussatz in Vermessungsaufgaben oft benötigt. Darauf werden wir weiter unten im nächsten Abschnitt eingehen.

Berechnung von Winkeln aus Längen

Der Cosinussatz kann nicht nur zur Berechnung von Seitenlängen verwendet werden. So erlaubt es die aus (9) folgende Beziehung

cosg

a² + b² - c²

2ab

(10)

den Cosinus des Winkels g zu ermitteln, wenn alle Seitenlängen des Dreiecks bekannt sind. Ist cosg bekannt, so kann g eindeutig als der Arcus Cosinus dieses Werts bestimmt werden. Analoge Beziehungen für die anderen Winkel entstehen durch entsprechende Umbenennungen der Symbole.

Das ist nicht nur nützlich für Berechnungen an Dreiecken, sondern illustriert, dass der Winkelbegriff aus dem Längenbegriff abgeleitet ist. Bereits die Festlegung eines Winkels im Bogenmaß oder die Definition der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck beziehen sich auf Längen und Längenverhältnisse. Im Cosinussatz wird das auf besonders schöne und allgemeingültige Weise noch einmal deutlich deutlich: Da beliebige durch Strecken oder Geraden begrenzte ebene Figuren in Dreiecke zerlegt werden können, können mit Hilfe des Cosinussatzes alle in solchen Figuren auftretenden Winkel bestimmt werden. Die weitergehende Zerlegung von schiefwinkeligen in rechtwinkelige Dreieck ist dabei nicht mehr notwendig, da sie gewissenmaßen in der Herleitung des Cosinussatzes bereits ein für allemal durchgeführt wurde.

Analog zum oben besprochenen Sinussatz lassen sich die Ähnlichkeitseigenschaften ebener geometrischer Figuren auch anhand des Cosinussatzes demonstrieren: Gehen Sie noch einmal zu den Formeln (9) bis (10) zurück und überzeugen Sie sich, dass sie auch dann gültig bleiben, wenn jede Seitenlänge durch ihr q-faches ersetzt, die Winkel aber gleich gelassen werden!

Sinus und Cosinus
im rechtwinkeligen Dreieck

Vermessungsaufgaben

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Vermessungsaufgaben bestehen darin, gewisse Größen in geometrischen Figuren, die aus Dreiecken bestehen oder sich in Dreiecke zerlegen lassen, aus gewissen anderen numerisch bekannten Größen zu errechnen. Oft handelt es sich dabei um mehr oder weniger realistische Situationen aus der Landvermessung. Zum Lösen dieser Aufgaben ist manchmal eine Kombination von Argumenten nötig. Sie zu finden, ist nicht immer leicht. Daher geben wir hier eine ausführliche Liste von Tipps, fassen zusammen, wie Dreiecke "aufgelöst" werden und besprechen einige Beispiele.

Einige Tipps

Mit dem nebenstehenden Button können Sie einige Tipps zur Bearbeitung von Vermessungsaufgaben aufrufen. Darunter finden Sie Hinweise zur sinnvollen Nutzung der Werkzeuge mathe online Mini-Rechner und JavaCalc für numerische Berechnungen, die Winkelfunktionen und die Umrechnungefaktoren zwischen Grad- und Bogenmaß enthalten.

Auflösen von Dreiecken

Die wichtigsten Bestimmungsstücke eines Dreieck sind die Seitenlängen und die Winkel. Von diesen sechs Größen reichen (bis auf Mehrdeutigkeiten, die in praktischen Aufgaben leicht in den Griff zu bekommen sind) drei aus, um ein Dreieck festzulegen. Unter dem "Auflösen von Dreiecken" versteht man die Kunst, aus drei gegebenen Bestimmungsstücken die restlichen drei zu berechnen. Mit dem nebenstehenden Button erhalten Sie eine Hilfe zur Vorgangsweise beim Auflösen von Dreiecken. Sie enthält

eine Tabelle der möglichen Fälle gegebener Größen (die mit den Kürzeln SWW, SSW, SWS, und SSS bezeichnet werden) und der Methoden zur Berechnung der restlichen Bestimmungsstücke, sowie
eine kurze Besprechung der Mehrdeutigkeiten, die mit Dreiecksangaben verbunden sein können.

Beispiele für Vermessungsaufgaben

von Dreiecken

Wir besprechen nun drei Vermessungsaufgaben (mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad). Klicken Sie die Links unter den Skizzen bzw. im Text an, um Hinweise zu den einzelnen Lösungsschritten hervorzuheben. In den Skizzen sind bekannte (gegebene oder bereits berechnete) Größen rot und gelb, die aus ihnen im jeweiligen Schritt zu berechnenden Größen blau und türkisfarbig dargestellt. Numerische Berechnungsresultate werden sinnvoll gerundet.

Aufgabe:
Die in der folgenden Skizze strichliert eingezeichnete Breite eines Gewässers soll bestimmt werden.

Angabe | Schritt 1 | Schritt 2

Lösung:
- Schritt 1: Zuerst legen wir eine Skizze an, in der die Größen durch Symbole gekennzeichnet sind. Gegeben sind a = 125m, b = 21.3° und g = 103.5°. Gesucht ist x.
- Schritt 2: Wir zeichnen den dritten Winkel a ein und berechnen ihn (Winkelsumme im Dreieck = 180°!) zu a = 180° - 21.3 - 103.5° = 55.2°. Nun kann x mit Hilfe des Sinussatzes bestimmt werden: x/sinb = a/sina, daher x = asinb/sina = 125m · sin(21.3°)/sin(55.2°) = 55.3m.
Die gesuchte Breite des Flusses ist 55.3m.
Aufgabe:
Von dem in der folgenden Skizze dargestellten Parallelogramm sind gegeben: a = 7.2, f = 5.5 und a = 47°. Gesucht sind die Seite b sowie die Winkel b und e.

Angabe | Schritt 1 | Schritt 2 | Schritt 3

Lösung:
- Schritt 1: Aufgrund der Parallelogramm-Eigenschaft (gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel) wird der Winkel b durch a zu 180° ergänzt, ergibt sich daher unmittelbar zu b = 180° - a = 180° - 47° = 133°.
- Schritt 2: Der Sinus des Winkels e ergibt sich gemäß dem Sinussatz zu sine/a = sina/f, woraus sine = (a/f)sina = (7.2/5.5)sin(47°) = 0.9574 und daraus e = asin(0.9574) = 73.22° folgt.
- Schritt 3: Nachdem der zusätzlich benannte Winkel d zu 180° - a - e = 59.78° bestimmt ist (Winkelsumme im Dreieck = 180°!), kann die Seite b durch eine nochmalige Anwendung des Sinussatzes ermittelt werden: b/sind = f/sina, daher b = fsind/sina = 5.5sin(59.78°)/sin(47°) = 6.499.
Bemerkung: In Schritt 3 hätte man anstelle des Sinussatzes den Cosinussatz anwenden und b aus a, f und d bestimmen können. Eine weitere Alternative hätte darin bestanden, b mit Hilfe des Sinussatzes aus a, e und d zu bestimmen. Führen Sie diese Rechnungen zur Übung selbst durch!
Aufgabe:
Durch einen Berg soll ein Stollen getrieben werden. Der Berg und die Wetterlage verhindern Winkelmessungen, so dass