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In diesem Kapitel spielen Potenzen, deren Exponenten beliebige reelle Zahlen sein dürfen, eine wichtige Rolle. Daher wollen wir zunächst besprechen, was wir darunter verstehen. Eine Potenz (oder ein Potenzausdruck) ist ein Term der Form ax. Dabei heißt a die Basis und x der Exponent (die Hochzahl). Der Grund dafür, dass wir den Buchstaben x für den Exponenten verwenden, liegt darin, dass wir in diesem Kapitel daran interessiert sind, wie eine Potenz von ihrem Exponenten abhängt. Wir haben bereits früher ausführlich erörtert, wie eine Potenz mit positiver Basis (a > 0) und rationalem Exponenten x definiert ist, und wir erinnern uns an die Rechenregel (Identität) |  Potenzen mit rationalen Exponenten | ||||||||||||||||||||||||
die für alle rationalen Zahlen x, y gilt. Sie hat sich als wertvoller Wegweiser erwiesen und wird auch weiterhin eine zentrale Rolle spielen. Das Bedürfnis nach mathematischer Allgemeinheit legt nun die Frage nahe, ob Potenzen nicht auch für beliebige reelle Exponenten (also auch für irrationale Exponenten, die nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können, wie Ö2 oder p) definiert werden kann. Kann etwa der Potenz 2p ein Sinn gegeben werden? Wir wollen nun kurz darlegen, dass das tatsächlich möglich ist. Wir benutzen dabei die Tatsache, dass jede irrationale Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden kann. Falls es sich beim Exponenten etwa um die Zahl p handelt, betrachten wir die Zahlenfolge und geben in jedem Schritt die nächste Ziffer in der Dezimaldarstellung von p dazu. Diese Zahlen kommen p immer näher (genauer gesagt: sie kommen beliebig nahe an p heran), und sie alle sind rational (so ist etwa 3.14 = 314/100 ein Quotient zweier ganzer Zahlen), daher als Exponenten einer Potenz zulässig. Wir betrachten nun die Potenzen, die wir mit diesen Zahlen bilden können: Um anhand eines Beispiels zu verdeutlichen, wie sich diese Zahlen verhalten, setzen wir a = 2 und sehen uns die Dezimaldarstellungen der ersten sechs Potenzen an:
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Wir erkennen, dass sich die Zahlen der rechten Spalte immer weniger ändern. Sie streben einer bestimmten reellen Zahl zu, und diese Zahl bezeichnen wir als 2p. Ihre Dezimaldarstellung beginnt mit 8.824977827... In der Fachsprache wird sie als "Grenzwert" der Zahlenfolge, die in der rechten Spalte steht, bezeichnet. Dieselbe Methode kann auch für andere (positive) Basen a und für andere (irrationale) Exponenten x angewandt werden. Da die Rechenregel (1) für rationale Exponenten gilt, durch die wir irrationale Exponenten beliebig gut annähern, dürfen wir annehmen, dass sie auch für letztere gilt. |  Grenzwert (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||
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Wir haben bei dieser Argumentation nicht die allergrößte mathematische Strenge walten lassen,
wollen uns aber dennoch hier mit ihr zufrieden geben.
Einige Bemerkungen darüber, was hinter diesem Verfahren steckt,
können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen.
Wenn Ihnen unsere Konstruktion ein bisschen umständlich erscheint, so können wir sie beruhigen:
Ihr Zweck liegt nicht in praktischen Berechnungen
- diese werden wir nach wie vor an elektronische Rechner
delegieren.
Der Sinn unserer Argumentation war lediglich, uns (theoretisch) zu vergewissern, dass
der Begriff der Potenz für beliebige reelle Exponenten einen Sinn macht. Dieses Ziel haben wir erreicht, und so halten wir fest:
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Für diesen erweiterten Potenzbegriff gelten - neben (1) - auch die anderen Rechenregeln, die wir schon für rationale Exponenten kennengelernt haben. Sie können die wichtigsten mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Wir haben damit die Idee der Potenz soweit verallgemeinert, wie das im Rahmen der reellen Zahlen möglich ist. Eine weitere Ausdehnung dieser Idee, nämlich auf komplexe Zahlen, werden wir in einem späteren Kapitel betrachten. |
 komplexe Potenzen (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||
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Da wir nun beliebige reelle Zahlen als Exponenten verwenden dürfen, können wir fragen, wie die Potenz einer gegebenen (positiven) Basis a von ihrem Exponenten abhängt. Mit anderen Worten, wir können die Zuordnungsvorschrift
betrachten. Sie definiert eine Funktion auf der Menge der reellen Zahlen. Eine derartige Funktion wird Exponentialfunktion genannt. Auch allgemeinere Zuordnungsvorschriften der Form | Funktionen | ||||||||||||||||||||||||
wobei b und c festgehaltene Zahlen sind, werden mit demselben Namen bezeichnet. Exponentialfunktionen spielen in der Mathematik und in vielen ihrer Anwendungen eine wichtige Rolle. Ohne sie ließe sich kaum ein dynamisches System verstehen, sei es physikalischer, chemischer, biologischer oder ökonomischer Natur. Wir werden weiter unten sehen, wie sie dazu benutzt werden, Wachstums- und Zerfallsprozesse zu modellieren. Aber auch in anderen Zusammenhängen begegnen sie uns, von der Wahrscheinlichkeitsrechnung bis zur Quantentheorie. Das Gebiet der Differentialgleichungen wäre ohne sie undenkbar, und ihre Verallgemeinerung im Rahmen der komplexen Zahlen zeigt eine tiefe Verwandtschaft mit Winkelfunktionen und Schwingungsvorgängen auf, deren Anwendungen bis in die Wechselstromtechnik reichen. Diese breite Anwendbarkeit verdanken die Exponentialfunktionen der Einfachheit der ihr zu Grunde liegenden Idee. Lassen wir ihre "Entstehungsgeschichte" kurz Revue passieren: | Dynamische Systeme (in Vorbereitung) Wahrscheinl.rechng (in Vorbereitung) Diff.gleichungen (in Vorbereitung) Winkelfunktionen | ||||||||||||||||||||||||
Machen Sie sich selbst ein wenig mit dem Verhalten der Exponentialfunktionen vertraut! Benuzten Sie etwa den mathe online Funktions-Plotter, um sich die Graphen von 2x, 3x, 10x, (1/2)x, (1/3)x, 2-x und 3-x (einzugeben als 2^x, 3^x, 10^x, (1/2)^x, (1/3)^x, 2^(-x) und 3^(-x)) anzusehen. Weiter unten werden wir die wichtigsten mathematischen Eigenschaften der Exponentialfunktionen besprechen. |
Potenzen | ||||||||||||||||||||||||
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Wir wollen nun illustrieren, wie Exponentialfunktionen bei der Modellierung von Wachstumsprozessen auftreten. Betrachten wir eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert:
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Das ist eine äußerst praktische Formel. Um etwa die Größe der Kultur nach 24 Stunden zu ermitteln, müssen wir nicht 24 Verdoppelungsschritte machen, sondern einfach die Zahl 1000 × 224 berechnen. Wir erhalten 16777216000, d.h. (gerundet) 16.8 Milliarden Stück, also eine sehr große Zahl. Hier sehen wir auch den Grund für die Bezeichnung "exponentiell": Die Zeit-Variable t (die Zahl der vergangenen Stunden) tritt in Formel (4) als Exponent auf. Mit größer werdendem t wächst 2t "exponentiell" an und erreicht sehr schnell riesige Werte. Wie werden in diesem Kapitel des Öfteren auf ähnliche Berechnungen stoßen. Um sie schnell ausführen zu können, stellen wir hier einen Wachstums-Rechner zur Verfügung: Für drei gegebene Zahlen a, b und c berechnet er a × bc. Für die obige Rechnung geben Sie 1000 in das erste, 2 in das zweite und 24 in das dritte (hochgestellte) Textfeld ein und klicken auf das Gleichheitszeichen! (Jeder andere elektronische Rechner oder ein Taschenrechner kann das natürlich auch). Unsere schöne Formel (4) könnte den Anschein erwecken, wir hätten damit bereits ein mathematisches Modell, das das Wachstum der Bakterienkultur in befriedigender Weise beschreibt. 
Im nebenstehenden Diagramm ist dargestellt, was sie leistet: Die Zahl der Bakterien zu einer bestimmten Zeit
wird vertikal über der entsprechenden Zeitmarke aufgetragen. Wird nacheinander
t = 1,
t = 2,
t = 3 usw.
eingesetzt, so liefert Formel (4) die gelben Punkte: die Zahl der zu jeder vollen Stunde vorhandenen Bakterien.
Nun wollen wir aber eine harmlose Frage stellen, und wie so oft in der Mathematik bringen
wir mit einer kleinen Frage große Dinge ins Rollen:
Wie viele Bakterien gibt es nach einer halben Stunde? Wo genau liegt der Punkt
in unserem Diagramm, der der Markierung für 1/2-Stunde
entspricht?Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft 1 unseres Systems: "In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor". Damit lässt sich das Problem lösen: Nach einer halben Stunde haben sich die Bakterien um einen Faktor vermehrt, den wir im Moment nicht kennen und mit q bezeichnen. 1/2 Stunde nach Beginn gibt es also 1000 q Bakterien. In der darauffolgenden halben Stunde vermehren sie sich - gemäß Eigenschaft 1 - ebenfalls um den Faktor q, d.h. es gibt nun 1000 q2 Bakterien. Andererseits ist insgesamt ist 1 Stunde vergangen, und wir wissen aufgrund von Eigenschaft 3, dass sich die Zahl der Bakterien verdoppelt hat. Es muss also q2 = 2 gelten, woraus q = Ö2 = 1.414213562... folgt. Die Antwort auf die Frage ist also, dass es nach einer halben Stunde (ungefähr) 1414 Bakterien gibt. Der exakte, von unserem Modell vorausgesagte Wert ist 1000 Ö2. Nun beobachten wir, dass das auch als 1000 × 21/2 geschrieben werden kann, denn 21/2 ist gerade die Quadratwurzel aus 2. Das bedeutet aber, dass Formel (4) auch für t = 1/2 gilt ! Eigentlich ist das eine überraschende Erkenntnis! Wir haben Potenzen mit rationalen Exponenten bisher ohne jeglichen Bezug zu konkreten Anwendungen, sondern eher aus formalen Beweggründen heraus - vor allem durch den Wunsch, Rechenregel (1) auch für rationale Exponenten beizubehalten - definiert. Auf keinen Fall haben wir dabei an Bakterien und Wachstumsprozesse gedacht. Und dennoch stellt sich nun heraus, dass sich die Konvention, die Quadratwurzel aus a als a1/2 zu schreiben, bestens zur Beschreibung des Bakterienwachstums eignet. Unser obiger Wachstums-Rechner kennt diese Konvention natürlich auch - probieren Sie es aus, indem Sie 1/2 oder 0.5 in das Textfeld für den Exponenten schreiben! Doch damit nicht genug: Es ist nicht schwer, zu zeigen, dass Formel (4) für alle (positiven) reellen Zeitenangaben t anwendbar ist. Mit anderen Worten:
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Um diese Behauptung zu beweisen, kann die
zuvor für t = 1/2
durchgeführte Argumentation auf rationale t verallgemeinert
und die Behauptung anschließend auf reelle t
ausgedehnt werden (siehe den nebenstehenden Button).
Wie werden auf die Frage, warum sich Exponentialfunktionen zur Beschreibung exponentieller Prozesse eignen,
weiter unten noch einmal zurück kommen und den tieferen Grund dafür
- er hängt mit der Rechenregel (1) zusammen -
verstehen.Da t nun einen beliebigen Punkt am positiven Teil der Zahlengeraden darstellen kann, können wir unsere graphische Veranschaulichung des Prozesses verbessern: Die rote Linie im nebenstehenden Diagramm stellt den Graphen der Exponentialfunktion (5) dar. Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1.25 Stunden. Wir setzen t = 1.25 in (4) ein und erhalten (z.B. mit Hilfe des obigen Wachstums-Rechners) 2378.41423..., also gerundet: 2378 Stück. Vom mathematischen Standpunkt betrachtet, ist das Interessante aber nicht so sehr das Einsetzen von Zahlen in eine Formel, sondern das Aufstellen von Wachstumsmodellen. Weitere Beispiele exponentieller Wachstumsprozesse Viele Systeme verhalten sich ganz ähnlich wie unsere Bakterien. Wir wollen nun in aller Kürze einige weitere Prozesse vorstellen und zeigen, wie sie in mathematische Form gebracht werden. Für sie alle gelten Eigenschaften analog zu den für das Bakterienwachstum postulierten, wobei Eigenschaft 1 lediglich verbal angepasst, in den Eigenschaften 2 und 3 auch die Zahlenwerte ausgetauscht werden müssen. Zwei Beispiele:
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Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Liste weiterer Beispiele
aufrufen. In ihr wird die Beschreibungsweise der betrachteten Prozesse ein bisschen variiert, und
es wird vorgeführt, wie die zugehörigen Exponentialfunktionen
ermittelt werden. Unter anderem lernen Sie das
Mooresche Gesetz über die exponentielle Zunahme der Leistungsfähigkeit von Computern kennen.
Als letztes Beispiel wird das Modell für den allgemeinen exponentiellen Wachstumsprozess,
in dem alle Kennzahlen offen gelassen sind, angeschrieben. |
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Nicht nur die Zunahme, sondern auch die Abnahme einer Größe kann auf exponentielle Weise geschehen. Um derartige Prozesse zu beschreiben, ist lediglich eine kleine Änderung unserer bisheigen Betrachtungsweise nötig. Betrachten wir ein radioaktives Präparat, d.h. einen Stoff, in dem eine gewisse Anzahl "zerfallsfähiger" Atomkerne vorhanden sind. Jeder dieser Kerne wird irgendwann "zerfallen", d.h. ein Elementarteilchen (radioaktive Strahlung) aussenden und sich dabei in einen Atomkern nicht-aktiven Typs umwandeln. Je mehr zerfallsfähige Kerne vorhanden sind, umso mehr Strahlung wird emittiert. Da die zerfallsfähigen Kerne nach und nach "verbraucht" werden, wird die Strahlung im Laufe der Zeit abklingen. Die von unserem Präparat ausgehende radioaktive Strahlung sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert:
abgesunken ist. Das können wir auch als 1000 × (2-1)t schreiben, und da
schreiben. Welche der beiden Formeln 
(6) oder (7) zur Beschreibung des Prozesses benutzt wird, ist
im Grunde genommen gleichgültig. Oft wird die zweite Variante (7) vorgezogen, aber das ist keine
bindende Vorschrift.
Das Minuszeichen im Exponenten zeigt an, dass es sich um einen Zerfalls- und nicht um einen
Wachstumsprozess handelt. Wie im vorigen Abschnitt kann argumentiert werden, dass diese
beiden Formeln für alle (positiven) reellen
t anwendbar sind.
Nebenstehend ist als Veranschaulichung der Graph der Funktion (6) bzw. (7) abgebildet.
Unser obiger Wachstums-Rechner eignet sich
(trotz seines Namens) auch für Zerfallsprozesse.
Probieren Sie es aus, indem Sie die Zahl der Intensität der Strahlung
nach einer Stunde und 15 Minuten (1.25 Stunden) berechnen!Einen Prozess dieses Typs nennen wir exponentiellen Zerfall (Abfall), exponentielle Abnahme oder exponentielles Abklingen. Jene Zeitdauer, während der die beschriebene Größe auf die Hälfte absinkt (in unserem Beispiel: 1 Stunde) heißt Halbwertszeit. Klarerweise handelt es sich bei den gemachten Annahmen (den drei obigen Eigenschaften) wieder nur um ein Modell. Mit wachsendem t fällt 2-t "exponentiell" ab und erreicht schnell sehr kleine Werte. Spätestens wenn kein zerfallsfähiger Atomkern mehr vorhanden ist, ist die Grenze des Modells erreicht. | |||||||||||||||||||||||||
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Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons
können Sie eine Liste weiterer Beispiele für exponentielle Zerfallsprozesse aufrufen.
In ihr wird die Beschreibungsweise der betrachteten Prozesse ein bisschen variiert, und
es wird vorgeführt, wie die zugehörigen Exponentialfunktionen
ermittelt werden. Außerdem erfahren Sie, wie die Altersbestimmung durch die
Radiokarbonmethode funktioniert und wie die Halbwertszeit abgelesen werden kann,
wenn die Exponentialfunktion bekannt ist. Als letztes Beispiel wird
das Modell für den allgemeinen exponentiellen Zerfallsprozessprozess,
in dem alle Kennzahlen offen gelassen sind, angeschrieben. Die Beispiele, verglichen mit jenen des vorigen Abschnitts, illustrieren, dass Wachstums- und Zerfallsprozesse durch denselben Formalismus beschrieben werden: den der Exponentialfunktionen, deren Eigenschaften wir uns im nächsten Abschnitt zuwenden werden. | |||||||||||||||||||||||||
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Dynamische Systeme (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||
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Wie wir in den beiden vorhergehenden Abschnitten anhand mehrerer Beispiele gesehen haben, ist ein exponentieller Prozess durch eine Exponentialfunktion, d.h. durch eine Funktion der Form (3) definiert. Wir schreiben sie als
Die Wachstums- und Zerfallsfunktionen aller bisher betrachteten Beispiele haben diese Form. Sie unterscheiden sich voneinander lediglich durch unterschiedliche Werte der Konstanten a (> 0), b und c (die auch als Parameter bezeichnet werden). Im Folgenden werden wir einige zentrale Eigenschaften dieser Funktionen diskutieren. Warum sich Exponentialfunktionen zur Beschreibung exponentieller Prozesse eignen Es ist lehrreich, sich kurz zu überlegen, was Funktionen der Form (8) so bedeutend macht. Wir haben exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse dadurch charakterisiert, dass die betrachtete Größe "in gleich langen Zeitintervallen um den gleichen Faktor wächst (schrumpft)", wobei es nicht immer um zeitliche Abläufe geht, sondern ganz allgemein um das Verhalten einer Größe in Abhängigkeit von einer anderen (wie beispielsweise die Helligkeit des Lichts als Funktion der Dicke einer Glasscheibe, durch die es fällt). Diese entscheidende Eigenschaft findet sich nun bei Funktionen des Typs (8) in der folgenden Form wieder:
Wir können das leicht beweisen, indem wir x + s statt x in (8) einsetzen:
Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir (1), die zentrale Rechenregel für Potenzen, verwendet, beim dritten Gleichheitszeichen haben wir (8) benützt. Diese Identität gilt übrigens für alle reellen s, nicht nur für die positiven. Mit ihr ist die Behauptung bewiesen: Der "Faktor, der nur von s abhängt", ist abs. Wichtig ist, dass er nicht von x abhängt. Mit welchem x auch immer begonnen wird: Wächst x (additiv) um s, so ändert sich der Funktionswert (multiplikativ) um den Faktor abs. Diese Koppelung von additivem mit multiplikativem Verhalten geht auf das Verhalten von Potenzen zurück: den Zusammenhang zwischen dem Produkt (von Potenzen) und der Summe (der Exponenten), wie er durch (1) ausgedrückt wird. Wir sehen also, dass es die Identität (1) ist, der die Exponentialfunktionen ihre Eignung zur Beschreibung exponentieller Prozesse verdanken. Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Die Rolle der Parameter Die Funktionsterme der Form (8) beinhalten drei Konstante (Parameter) a, b und c. Allerdings sind diese Zahlen durch die Funktion f nicht eindeutig bestimmt! Das liegt daran, dass Potenzen mit verschiedener Basis und verschiedenen Exponenten durchaus dasselbe bedeuten können. So kann beispielsweise 16x/2 auch als 4x oder als 22 x oder auch als (1/2)-2 x geschrieben werden - alle diese Ausdrücke beschreiben ein und dieselbe Exponentalfunktion! Das mag lästig erscheinen, liegt aber in der Natur des Potenzierens. Wir haben also immer die Wahlmöglichkeit zwischen verschiedenen Schreibweisen derselben Exponentialfunktion (zwischen verschiedenen Basen), und wir werden weiter unten eine Regel kennenlernen, wie wir eine Potenz mit irgendeiner Basis zu einer Potenz mit einer beliebigen anderen Basis umformen können. Eine Möglichkeit, einen gegebenen Funktionsterm der Form (8) zu vereinfachen, besteht darin, die Konstante b im Exponenten "zum Verschwinden zu bringen". Das ist gar nicht schwierig, denn wir können (8) in der Form
schreiben, wobei wir A = ab definiert haben. a und b spielen also keine voneinander unabhängige Rolle, sondern es ist nur die Kombination ab, die zählt. Manchmal ist es vorteilhaft, zu wissen, welche Bedeutung die Parameter a, b und c in (8) haben: Wie widerspiegeln ihre Werte die Eigenschaften des modellierten Prozesses? Wir können auch den Spieß umdrehen und fragen, welcher Prozess durch eine gegebene Exponentialfunktion der Form (8) beschrieben wird (wobei wir annehmen, dass a und c positiv sind). Der nebenstehende Button ruft eine Reihe von Bemerkungen zu diesen Fragestellungen auf. | |||||||||||||||||||||||||
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Definitionsbereich Die Exponentialfunktionen sind für alle reellen Zahlen x definiert, d.h. ihr Definitionsbereich ist die gesamte Menge R. Für die Modellierung eines exponentiellen Prozesses wird in der Regel nur ein Teil dieses Bereichs (üblicherweise x ³ 0) benötigt, da jeder realistische Prozess irgendwann einmal beginnt). Monotonie und Injektivität Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir noch einige wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen erwähnen. Wir betrachten Funktionen vom Typ (8) mit c > 0. Sie sind alle positiv: f(x) > 0 für alle x Î R. Mit der Abkürzung A = ab wie in (10) gilt für sie: | Definitionsbereich einer Funktion | ||||||||||||||||||||||||
| Monotonie | ||||||||||||||||||||||||
Aus der Monotonie folgt, dass die betrachteten Funktionen (für c > 0 und A ¹ 1) injektiv sind. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert höchstens einmal angenommen wird.
Als letzte Eigenschaft erwähnen wir, dass jede der betrachteten Funktionen (für c > 0 und A ¹ 1) jeden positiven Wert annehmen kann (mit anderen Worten: ihr Wertebereich ist die Menge R+ ): Ihre Graphen nähern sich "im Unendlichen" der x-Achse entweder im Bereich positiver oder negativer x (je nachdem, ob A < 1 oder A > 1 ist) und wachsen im jeweils anderen Bereich über jede Schranke an. Daher wird jede positive Zahl, sei sie noch so klein oder so groß, als Funktionswert angenommen. Um ein Gefühl für diese Eigenschaft zu bekommen, sehen Sie sich einige solcher Graphen (z.B. der Funktionen | Potenzen und die Ordnung der reellen Zahlen injektiv | ||||||||||||||||||||||||
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Die Exponentialfunktionen besitzen weitere bedeutsame und "schöne" Eigenschaften,
auf die wir in späteren Kapiteln, insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung,
stoßen werden. |
Differentialgleichungen (in Vorbereitung) | ||||||||||||||||||||||||
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Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler hat im 18. Jahrhundert eine Zahl in die Mathematik eingeführt, die mit e bezeichnet wird und seither nicht mehr wegzudenken ist. Wie p ist sie eine irrationale Zahl, und ihre Dezimaldarstellung beginnt mit
Gehört die Eulersche Zahl e nicht zu Ihrem Lernstoff, so überspringen Sie nun den Rest dieses Abschnitts, nehmen aber am Besten zur Kenntnis, dass sie den soeben angeschriebenen Wert hat und als "natürliche Basis" bezeichnet wird. Was es mit der Zahl e auf sich hat, können wir an dieser Stelle nur zu einem kleinen Teil vermitteln, denn ihre Bedeutung wird erst nach und nach mit fortschreitendem Stoff klarer werden. Eine Möglichkeit, die Zahl e kurz und bündig zu definieren, ist diese: e ist die einzige positive Zahl, für die
gilt. 
In der nebenstehenden Skizze sind die Graphen dieser beiden Funktionen gezeichnet:
Jener von ex
liegt - außer im Punkt (0, 1) - gänzlich "oberhalb" der Geraden, die den Graphen von
1+ x bildet.
Die Basis e ist die einzige,
die diese Eigenschaft hat:
Ist a ¹ e,
so schneidet der Graph von ax
die Gerade in zwei Punkten, liegt also zum Teil "unterhalb" von ihr.
Wenn Sie die Maus über die Skizze fühen, so erscheint zum Vergleich der
Graph von 2x; wenn Sie
auf die Graphik klicken, sehen Sie den Graphen von
5x.
Wir wollen diese Veranschaulichung als ausreichende Begründung für die Existenz und
Eindeutigkeit der Zahl e ansehen.
Im nebenstehenden Applet ist sie auf dynamische Weise veranschaulicht.
Mit Hilfe des darunter stehenden Buttons können Sie
einen kleinen Exkurs zur Zahl e
aufrufen, der den soeben beschriebenen Sachverhalt genauer diskutiert. | Zur Definition der Eulerschen Zahl e | ||||||||||||||||||||||||
Wieso ist Eigenschaft (14) bedeutsam?
Das hängt mit der Frage zusammen, wie sich Exponentialfunktionen der Form (2), d.h.
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