Beispiel: F(x) = x³ ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x², denn (x³) ^' = 3x².
Beachten Sie: G(x) = x³ + 1 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f(x) = 3x², denn (x³ + 1) ^' = 3x².

Beispiel: Um eine Stammfunktion von x + 3sin x zu finden, suchen Sie in der Tabelle (oder in Ihrem Gedächtnis) Funktionen, deren Ableitungen mit den einzelnen Summanden (möglicherweise bis auf Vielfache) übereinstimmen. So erinnern Sie sich etwa,

• dass die Ableitung von x² gleich 2x ist, die Ableitung von x²/2 daher gleich x.
• Weiters ist die Ableitung von cos x gleich -sin x, die Ableitung von -3cos x daher gleich 3sin x.
• Setzen wir diese Erkenntnisse zusammen, so ergibt sich: Die Ableitung von x²/2 - 3cos x ist gleich x + 3sin x, d.h. gleich der gegebenen Funktion.

Die Antwort lautet daher:

ò  (x + 3sin x) dx   =   x2/2 - 3cos x + c .

(6)

• Potenzen: ò1dx = x, òxdx = x²/2 und òx²dx = x³/3.
• Winkelfunktionen: òsinxdx = -cosx und òcosxdx = sinx.

Probieren wir das gleich anhand eines Beispiels aus: Das unbestimmte Integral der Funktion f(x) = 3x² haben wir bereits oben in (4) hingeschrieben: Um irgend eine Stammfunktion zu erhalten, können wir die Konstante c ignorieren und wählen F(x) = x³. Die Fläche unter dem Graphen von f (der, wie wir ja wissen, eine Parabel darstellt) zwischen den Stellen 0 und 1 ist daher

1   ½ 1   ò  3x2 dx   =   x3      =   13 - 03  =  1. 0   0

Wer hätte gedacht, dass es so einfach ist, die Fläche unter einer Parabel zu berechnen?

1. Wir haben bisher, ohne es genau auszusprechen, nur an Funktionen gedacht, die positive Funktionswerte besitzen, d.h. deren Graphen oberhalb der x-Achse liegen. Wir lassen nun diese Einschränkung fallen und legen fest, dass das bestimmte Integral (7) den orientierten Flächeninhalt darstellt (siehe dazu auch den nebenstehenden Button), d.h. dass Flächenstücke unterhalb der x-Achse (oberhalb des Graphen von f ) mit negativem Vorzeichen beitragen! Wird ein bestimmtes Integral mit Hilfe des Hauptsatzes (12) berechnet, so wird diese Regel automatisch berücksichtigt.

   
   Beispiel: Der Graph der Funktion f(x) = -3x² ist eine Parabel unterhalb der x-Achse, und dementsprechend ist das Integral
   

   1   ½ 1   ò  (-3x2) dx   =   -x3      =   -(13 - 03)  =  -1 0   0

   
   negativ.

   Ist das Integral einer Funktion über ein gegebenes Intervall gleich 0, so sind in diesem Intervall die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß, so daß ihre Inhalte einander wegheben.

2. Das bestimmte Integral als "orientierter Flächeninhalt" hat eine weitere Konsequenz: Man möchte zunächst meinen, dass (7) nur dann einen Sinn macht, wenn die untere Integrationsgrenze kleiner ist als die obere, d.h. wenn a < b gilt. Es hat sich jedoch als zweckmäßig herausgestellt, diese Einschränkung fallen zu lassen, d.h. bestimmte Integrale mit beliebigen Grenzen zu erlauben, und die Rechenregel
   

   a   b   ò  f(x) dx  =    - ò  f(x) dx   b   a

   (13)

   
   aufzustellen: Das Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen. Wird ein bestimmtes Integral mit Hilfe des Hauptsatzes (12) berechnet, so wird auch diese Regel automatisch berücksichtigt. In diesem Fall tragen die Flächenstücke oberhalb der x-Achse mit negativem Vorzeichen, jene unterhalb der x-Achse mit positivem Vorzeichen bei.
    
3. Das bestimmte Integral kann auch als kontinuierliche Verallgemeinerung des Mittelwerts und der Summe interpretiert werden. Näheres dazu ruft der nebenstehende Button auf.

4. Bei der Herleitung des Hauptsatzes (12) haben wir vorausgesetzt, dass f stetig ist. Das bedeutet aber nicht, dass nur stetige Funktionen integriert werden können. Soll das bestimmte Integral einer stückweise stetigen Funktion mit Hilfe von (12) berechnet werden, so muss jedes Intervall, in dem sie stetig ist, für sich betrachtet werden. Danach wird die Summe dieser Einzelintegrale addiert. (In der nebenstehende Skizze wären die Integrale von a bis b und von b bis c getrennt zu berechnen und danach zu addieren).
    
5. Wie wir weiter unten im Abschnitt über "uneigentliche Integrale" besprechen werden, können die Integrationsgrenzen unter gewissen Voraussetzungen durch -¥ oder ¥ ersetzt werden, und an einer (endlichen) Integrationsgrenze darf f eine (genügend milde) Unendlichkeitsstelle besitzen. Damit können die Inhalte von Flächen berechnet werden, die "bis ins Unendliche" reichen.

6. Zur Bedeutung der in (3) und (7) verwendeten Symbole ò und dx: Diese Schreibweise stammt von Gottfried Wilhelm von Leibniz. Er hat sich die Fläche unter einem Funktionsgraphen als aus unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinander stehenden Rechtecken zusammengesetzt gedacht, jedes ähnlich dem schmalen Streifen, den wir in (8) betrachtet haben. Wird in (8) e = dx gesetzt und als unendlich kleine ("infinitesimale") Größe, als "Differential", aufgefasst, so stellt sich der Flächeninhalt als "Summe" von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksflächen f(x)dx dar. Das Integralzeichen, als langgestrecktes "S", steht für diese "Summe". Sie erstreckt sich in gewisser Weise "über alle x", beginnend bei a und endend bei b, was oberhalb und unterhalb des Integralzeichens vermerkt wird. In dieser Interpretation ist die Größe f(x)dx, wie die Schreibweise nahelegt, tatsächlich ein Produkt. Die "infinitesimale" Sichtweise ist heute überholt (die Schreibweise nur mehr symbolisch zu verstehen), die ihr zugrunde liegende Vorstellung kann durch einen wohldefinierten Grenzübergang ersetzt werden, aber sie ist nach wie vor hilfreich und regt die Anschauung an. Auf die Möglichkeiten, den Integralbegriff exakter zu fassen, werden wir weiter unten noch zu sprechen kommen.

Beispiel 1: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 zwischen den Stellen 1 und 2.
Eine Stammfunktion der gegebenen Funktion ist, wie sich leicht herausfinden lässt, F(x) = x³/3 - x. Nachdem wir das nun wissen (das Auffinden einer Stammfunktion ist in der Regel der schwierigste Teil einer Integrationsaufgabe), besteht die Lösung der Aufgabe aus zwei Schritten:

• Um sicherzugehen, dass keine Weghebungen von Flächenstücken oberhalb und unterhalb der x-Achse passieren können, müssen wir uns erst vergewissern, dass die Funktion f im angegebenen Intervall [1, 2] nicht negativ werden kann. Das geschieht durch die Berechnung der Nullstellen oder, wenn man sich eine kleine Nachlässigkeit gönnt, durch die Betrachtung des Graphen, z.B. mit dem Funktions-Plotter (am besten aber durch beides). Prüfen Sie das für unser Beispiel selbständig nach!
   
• Der Rest der Rechnung läuft im Grunde genommen ganz mechanisch ab:
  

  2   ½ 2   ò  (x2 - 1) dx   =   (x3/3 - x)      =   1   1

  =   (23/3 - 2) - (13/3 - 1)   =   4/3 .

Der gesuchte Flächeninhalt ist 4/3.

Beispiel 2: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = 1/x zwischen den Stellen 1 und s > 0.
Eine Stammfunktion von 1/x ist der natürliche Logarithmus ln x. Das ergibt sich ganz einfach aus (ln x)' = 1/x. Da ln(1) = 0 ist, lautet die Antwort ln s. Diese Erkenntnis wird manchmal dazu benutzt, die Argumentation umzukehren und den natürlichen Logarithmus über die Beziehung

x   ln x  =   ò      dt t       1

(14)

zu definieren. (Beachten Sie, dass die Integrationsvariable hier mit einem anderen Buchstaben als x, der oberen Grenze, bezeichnet wird). Diese Definition hat den Vorteil, dass sie kurz ist und - sofern der Integralbegriff als bekannt vorausgesetzt werden darf - keinerlei Vorbereitungen über Potenzen mit nicht-ganzzahligen Exponenten und über die Eulersche Zahl e bedarf.

Ist f eine stetige Funktion, so ist

x    F(x)  =    ò  f(x') dx'     a

(15)

eine Stammfunktion (d.h. ein unbestimmtes Integral) von f, wobei die Stelle a beliebig gewählt werden kann. Das folgt unmittelbar daraus, dass F eine Flächenfunktion darstellt (wir haben sie im vorigen Abschnitt A genannt) und aus unserem obigen Ergebnis (10). Beachten Sie die Schreibweise in (15): Man vermeidet es, die Integrationsvariable mit dem gleichen Symbol zu bezeichnen wie eine Integrationsgrenze. Das unbestimmte Integral lässt sich also als bestimmtes Integral (mit unbestimmter unterer Grenze) darstellen. Die Aussage F '(x) = f(x) kann auch in der Form

d dx   x       ò  f(x') dx'   =   f(x)     a

(16)

geschrieben werden. In Worten lautet sie: Die Ableitung eines bestimmten Integrals nach der oberen Integrationsgrenze ergibt den Integranden. Das ist eine Möglichkeit, die Idee des Integrierens als "Umkehrung des Differenzierens" durch eine Formel auszudrücken. Eine andere ergibt sich, indem wir (12) in der Form

b   ò  F '(x) dx   =   F(b) - F(a)  a

(17)

schreiben, die für jede differenzierbare Funktion F gilt. In Worten: Das bestimmte Integral über eine Ableitung ergibt die Differenz der Funktionswerte des Integranden an den Integrationsgrenzen. Sowohl (16) als auch (17) können als Varianten des Hauptsatzes (12) angesehen werden. Letzte Beziehung stellt in kompakter Form dar, was wir tun müssen, um ein bestimmtes Integral zu berechen: Man finde eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist, und bilde die Differenz ihrer Werte an den Integrationsgrenzen.

Zum Verständnis des Integrals und zur Festigung der Intuition über diesen Begriff ist es lehrreich, sich einige Zusammenhänge zwischen den Funktionen f und F zu verdeutlichen. So verschwindet etwa die Ableitung von F genau an den Nullstellen von f. Wechselt f an einer solchen Nullstelle das Vorzeichen, so besitzt F dort ein lokales Extremum. Das nebenstehende Applet erlaubt es Ihnen, mit der Maus eigene Funktionsverläufe von f hervorzuzaubern, sich davon zu überzeugen, wie sich gewisse Eigenschaften von f in jenen von F widerspiegeln, und mit diesen Zusammenhängen ein bisschen zu experimentieren.

Ist c eine Konstante und F eine Stammfunktion von f, so ist cF eine Stammfunktion von cf. In Worten: Die Stammfunktion eines Vielfachen ist das Vielfache der Stammfunktion.
Beweis: (cF(x))' = cF '(x) = cf(x).
Diese Regel überträgt sich auf bestimmte Integrale in der Form

b   b   ò  c f(x) dx   =   c  ò  f(x) dx, a   a

(18)

in der die Stetigkeit von f übrigens nicht vorausgesetzt werden muss. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer mit dem Faktor c multiplizierten Funktion ist gleich dem c-fachen des ursprünglichen Flächeninhalts. Für das praktische Rechnen bedeutet sie: Eine Konstante darf aus einem Integral herausgezogen werden.

Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g, so ist F + G eine Stammfunktion von f + g. In Worten: Die Stammfunktion einer Summe ist die Summe der Stammfunktionen.
Beweis: (F(x) + G(x))' = F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Diese Regel überträgt sich auf bestimmte Integrale in der Form

b   b   b   ò  ( f(x) + g(x)) dx   =     ò  f(x) dx  +    ò  g(x) dx, a   a   a

(19)

in der die Stetigkeit von f und g nicht vorausgesetzt werden muss. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Flächeninhalte unter den Graphen der Summanden. Für das praktische Rechnen bedeutet sie: Eine Summe von bestimmten Integralen mit denselben Integrationsgrenzen kann zu einem Integral zusammengezogen werden.

Die beiden Regeln (18) und (19) zusammen drücken die Tatsache aus, dass das Integrieren eine "lineare Operation" ist.

Wird ein und dieselbe Funktion f über zwei angrenzende Intervalle integriert, so ist die Summe dieser beiden Integrale gleich dem Integral über die Vereinigung der beiden Intervalle:

b   c   c   ò  f(x) dx  +    ò  f(x) dx  =    ò  f(x) dx . a   b   a

(20)

Auch für diese Regel muss die Stetigkeit des Integranden nicht vorausgesetzt werden. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Inhalt einer Fläche, die sich aus zwei Stücken zusammensetzt, ist gleich der Summe der einzelnen Flächeninhalte. Sie gilt übrigens auch dann, wenn nicht unbedingt a £ b £ c ist. Wir erinnern in diesem Zusammenhang an die Rechenregel (13).

Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so

• ist F(x + a) eine Stammfunktion von f(x + a) und
• k^-1F(kx) eine Stammfunktion von f(kx).

Zum Beweis differenzieren Sie einfach die angegebenen Stammfunktionen! Damit ergeben sich beispielsweise die unbestimmten Integrale von sin(x + a) und e^kx sofort aus jenen von sin x und e^x zu -cos(x + a) und k^-1e^kx.

Ist F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar, so ist das unbestimmte Integral des Produkts f g durch

ò  f(x) g(x) dx   =   F(x) g(x)  -    ò  F(x) g'(x) dx

(21)

gegeben. Diese Formel erinnert ein bisschen an die Produktregel für die Ableitung, stammt auch von dieser ab, hat aber eine kompliziertere Struktur. Der wichtigste Schritt besteht darin, von einem der beiden Faktoren ( f ) die Stammfunktion, vom anderen (g) die Ableitung zu bilden, um zum Integral auf der rechten Seite zu gelangen. Leider ist durch nichts garantiert, dass dieses einfacher zu berechnen ist als das auf der linken. Immerhin ist das manchmal der Fall, und so gehört die Methode der partiellen Integration zum Standardrepertoire der Integralrechnung.

Als Beispiel berechnen wir das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass (ln x)' = 1/x ist und wenden einen genialen Trick an: Der Integrand ln x wird in der Form 1 × ln x geschrieben, und Formel (21) wird mit f(x) = 1 und g(x) = ln x angewandt. Eine Stammfunktion von 1 ist x, womit sich F(x) = x und g'(x) = 1/x ergibt. Simples Einsetzen in (21) liefert

ò  ln x dx  =  x ln x -  ò dx  =  x ln x - x,

(22)

wobei wir für ò1dx einfach òdx geschrieben haben. Überprüfen Sie dieses Resultat durch Differenzieren (d.h. checken Sie, dass die Ableitung von x ln x - x gleich ln x ist)!

Wenn Sie diese Methode für andere Integrale üben wollen, benutzen Sie sie, um òx