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Voraussetzungen und Vorbemerkungen
Im ersten Funktionenkapitel haben wir folgende Konzepte kennen gelernt:
Wir setzen sie in diesem Kapitel als bekannt voraus. Wiederholen Sie bitte die entsprechenden
Stellen bei Bedarf. (Ein erstes Betätigen eines der obigen Links
öffnet ein neues Brwowserfenster mit dem ersten Funktionenkapitel.
Wenn Sie es geöffnet lassen, wird es - ohne weitere Ladezeit -
auch von späteren Aufrufen genutzt).
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Funktionen 1
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Wir werden in diesem Kapitel hauptsächlich von reellen Funktionen
sprechen, d.h. von Funktionen, die entweder für alle reellen Zahlen
oder für eine Teilmenge von R
definiert sind, d.h. Funktionen vom Typ
f : R ® R oder
f : A ® R
mit A Í R.
Weiter unten werden wir Beispiele von Funktionen besprechen, die auf anderen Mengen
definiert sind.
Ein wichtiges Thema dieses Kapitels besteht darin, Eigenschaften von Funktionen mit
Eigenschaften ihrer Graphen in Zusammenhang zu bringen. Einige
Funktionsgraphen werden in Form vorbereiteter Grafiken gezeigt. Zögern Sie bitte nicht, den
zu verwenden, wann immer Sie darüber hinaus den Graphen einer (termdefinierten) Funktion betrachen wollen.
(Falls es in Ihrem Browser Probleme mit dem Symbol ^
für die Eingabe von Potenzen gibt, so ersetzen Sie es durch
das Wort hoch).
Die Festlegung einer Funktion f kann über die Zuordnungsvorschrift
f : x ® f (x)
oder in Form der Funktionsgleichung
y = f
(x) geschehen. Die Bezeichnung der
"unabhängigen" und der "abhängigen" Variablen mit den Buchstaben x
und y ist
nicht unbedingt notwendig, aber eine alte Tradition. Dementsprechend werden wir
bei der Besprechung von Graphen die "horizontale Achse ("Abszisse") als x-Achse
und die "vertikale" Achse ("Ordinate") als y-Achse
bezeichnen.
Zuletzt noch ein Begriff, der im Folgenden öfters vorkommen wird:
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynome
geschrieben werden kann. Rationale Funktionen sind einerseits
überschaubar und relativ leicht zu studieren, andererseits
vielfälig genug, um im Mathematikunterricht eine wichtige Rolle
zu spielen.
Wenn Sie nur an einigen der im Folgenden besprochenen Konzepten interessiert sind, so überspringen
Sie die anderen oder überfliegen Sie sie grob.
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reelle Zahlen
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Symmetrie und Antisymmetrie
Wir nennen eine Funktion
f : R ® R
symmetrisch (manchmal auch gerade), wenn für alle
x Î R
gilt. Der Graph einer symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der
y-Achse (d.h. er geht unter einer
Spiegelung an der y-Achse in sich selbst über).
Weiters nennen wir eine Funktion
f : R ® R
antisymmetrisch (manchmal auch ungerade), wenn für alle
x Î R
gilt. Der Graph einer antisymmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich des
Ursprungs (d.h. er geht unter einer Punktspiegelung am Ursprung, d.h. einer Drehung um 180°, in sich selbst über).
Beide Konzepte übertragen sich zwanglos auf Funktionen, die nicht auf
ganz R definiert sind: Es muss
dann (1) bzw. (2) für alle
x Î A
gelten, wobei A der Definitionsbereich von
f ist.
Viele wichtige Funktionen fallen in eine der beiden Klassen:
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- Beispiele für symmetrische Funktionen: xn
für gerades n
(d.h. 1, x2, x4,...),
x2-1,
1/x2, 1/x4,
1/(x2-1),
(1-x2)1/2,
cos x, sin2x,
x sin x,
cosh x (für letztere s.u.).
- Beispiele für antisymmetrische Funktionen: xn
für ungerades n
(d.h. x, x3,...),
x3-x,
1/x, 1/x3,
x/(x2-1),
x (1-x2)1/2,
sin x, x cos x,
tan x, cot x,
sinh x, tanh x, coth x (für letzte drei s.u.), sgn x (s.u.).
|
Wie aus diesen Beispielen ersichtlich ist, ist die (Anti-)Symmetrie vieler elementarer Funktionen
der schlichten Identität
(-x)2 = x2
zu verdanken, die selbst wiederum Konsequenz von
(-1)2 = 1 ist. Daher definiert ein Funktionsterm, in den
die Variable x nur quadratisch (d.h. als
x2) eingeht, immer eine symmetrische Funktion.
Das Produkt zweier symmetrischer oder zweier antisymmetrischer Funktionen
ist symmetrisch, das Produkt einer symmetrischen mit einer antisymmetrischen Funktion ist
antisymmetrisch.
Symmetrieeigenschaften von Funktionen können ausgenutzt werden, um Berechnungen
so kurz wie möglich zu halten: Ist eine Eigenschaft einer
(anti)symmetrischen Funktion (z.B. der Verlauf ihres Graphen oder die Lage einer Nullstelle) im Bereich x ³ 0
bekannt, so ergibt sich die entsprechende Eigenschaft für den Bereich x < 0
ganz automatisch.
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Periodizität
Wir nennen eine Funktion
f : R ® R
periodisch, wenn es eine positive Zahl p gibt, so dass für alle
x Î R
gilt. p heißt dann Periode oder
Periodenlänge. Mit wachsendem x
"wiederholt sich" eine periodische Funktion immer wieder, denn die zweimalige Anwendung von (3) ergibt
f (x + 2 p)
= f (x + p) =
f (x),
und ganz allgemein gilt
f (x + n p)
= f (x)
für jede natürliche Zahl.
Mit p ist also auch jedes Vielfache
n p eine Periode,
und entsprechend weist der Graph einer periodischen Funktion ein immer wiederkehrendes Muster auf.
Das Konzept überträgt sich zwanglos auf Funktionen, die nicht auf
ganz R definiert sind: Es muss
dann (1) für alle
x Î A
gelten, wobei A der Definitionsbereich von
f ist.
Manche periodische Funktionen besitzen eine kleinste Periode. (Wir nennen p
die kleinste Periode, wenn p Periode ist, aber
jede Zahl q mit
0 < q < p
keine Periode ist). Diese wird in der Regel angegeben, um periodische Funktionen zu charakterisieren
(ohne dass der Zusatz "kleinste" immer erwähnt wird). Dass nicht jede periodische
Funktion eine kleinste Periode hat, zeigt die nebenstehende Bemerkung.
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Beispiele für periodische Funktionen:
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Funktion
|
Kleinste Periode
|
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sin x,
cos x
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2p
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tan x,
cot x,
sin2x,
cos2x
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p
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Sägezahnfunktion:
Im Intervall -1 £ x £ 1 wird
f (x)
= 1 - |x|
definiert, außerhalb wird f periodisch
fortgesetzt.
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2
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Wie das letzte Beispiel zeigt, ist es ganz leicht, durch periodische Fortsetzung viele weitere periodische
Funktionen zu definieren.
Periodizitätseigenschaften von Funktionen können ausgenutzt werden, um Berechnungen
so kurz wie möglich zu halten: Ist etwa von einer Funktion mit Periode p
eine Eigenschaft (z.B. der Verlauf ihres Graphen oder die Lage einer Nullstelle) im
Bereich 0 £ x < p
bekannt, so ergibt sich die entsprechende Eigenschaft für alle anderen x
ganz automatisch.
Periodische Funktionen werden benötigt, um Schwingungsvorgänge
zu modellieren, wobei dann x für die
Zeit steht und p als Periodendauer
bezeichnet wird. Eine Methode, periodische Funktionen genauer zu analysieren
(etwa um zu untersuchen, worin die Klangfarbe eines Musikinstruments physikalisch besteht),
ist die Fourier-Analyse, die in einem späteren Kapitel besprochen wird.
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Fourier-Analyse
(in Vorbereitung)
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Stetigkeit
Wir erwähnen diesen Begriff hier nur oberflächlich, da seinen tieferen Aspekten ein eigenes
Kapitel gewidmet ist. Eine in einem Intervall A definierte Funktion
f : A ® R
wird als stetig bezeichnet, wenn
kleine Änderungen von x innerhalb von
A
kleine Änderungen von f (x)
zur Folge haben. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve
(die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen).
Der Begriff der Stetigkeit macht nur für Intervalle, in denen eine
Funktion definiert ist, Sinn.
Ist eine Funktion in mehreren Intervallen definiert (wie z.B.
1/x, was ja für
x = 0 nicht existiert),
so muss jeder dieser Bereiche (für 1/x
sind das die beiden Intervalle
x < 0 und
x > 0)
extra betrachtet werden. Eine unstetige Funktion ist dadurch charakterisiert, dass
die Forderung nach einem zusammenhängenden Graphen
im Definitionsbereich nicht erfüllt ist, dass also beispielsweise eine
Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist, an der der Graph aber
"auseinandergerissen" ist). Eine Funktion, die an voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen
aber stetig ist, heißt stückweise (oder abschnittsweise) stetig.
Es gibt aber auch Funktionen, die auf ganz
R definiert und an jeder Stelle
unstetig sind.
Beispiele für (un)stetige Funktionen:
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Stetigkeit
(in Vorbereitung)
Intervall
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Die Funktion
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ist stetig...
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und...
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x2
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in ganz R
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|x|
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in ganz R
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1/x
|
in den beiden Intervallen
x < 0
und x > 0
|
ist nicht definiert für x = 0
|
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x/(x2-1)
|
in den drei Intervallen
x < -1,
-1 < x < 1
und x > 1
|
ist nicht definiert für x = -1
und x = 1
|
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x1/2
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im Intervall x ³ 0
|
ist nicht definiert für x < 0
|
|
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in den beiden Intervallen
x < 2
und x > 2
|
ist unstetig bei x = 2
(Sprungstelle)
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|
Dabei ist Q die Menge der rationalen Zahlen.
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nirgends
|
ist für alle x Î R unstetig
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rationale Zahlen
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Nur die beiden letzten Beispiele stellen unstetige Funktionen dar, die anderen sind
(in ihren jeweiligen Definitionsbereichen) stetig.
Eine Funktion, die durch einen Term beschrieben wird, der sich durch die Grundrechnungsarten aus Potenzen,
Winkelfunktionen und deren Inversen, Exponentialfunktionen und Logarithmen aufbauen lässt, ist
in ihrem Definitionsbereich stetig. In diesem Sinn sind termdefinierte Funktionen immer stetig.
Das trifft insbesondere auf die meisten in diesem Kapitel behandelten Funktionen zu.
Weiter unten werden wir aber auch einige nützliche
unstetige Funktionen kennen lernen.
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Nullstellen
Nullstellen und ihre Beziehung zu Gleichungen haben wir bereits im ersten Funktionenkapitel
kennen gelernt. Zu den einfachsten Funktionen, deren Nullstellen es sich zu untersuchen lohnt, gehören die
Polynome, auf die wir weiter unten genauer eingehen. Polynome können in der Nähe von
Nullstellen ganz verschiedenes Verhalten haben: x0
heißt Nullstelle n-ter Ordnung
der Polynomfunktion f, wenn
|
f (x) »
c(x - x0)n
für x » x0 .
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(4) |
Dabei ist n eine natürliche Zahl und
c eine von Null verschiedene Konstante.
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Nullstellen
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Das Verhalten von f nahe x0 ähnelt dem der Potenzfunktion
(des "Monoms")
cxn
nahe 0.
Je größer die Ordnung n ist, umso
schneller fällt der Funktionswert gegen Null, wenn sich
x der Nullstelle nähert, und
umso flacher ist der Graph in deren Nähe.
Ist n gerade, so
hat die Funktion auf beiden Seiten von x0 das gleiche Vorzeichen
(wie es für die Funktion x2 der Fall ist).
Ist n ungerade, so
sind die Vorzeichen auf beiden Seiten von x0 verschieden
(wie für die Funktion x), und der
Graph "überquert" die x-Achse.
Wir werden weiter unten, wenn es um Polynome geht, zeigen, dass jede Nullstelle von dieser Art ist,
d.h. eine wohldefinierte Ordnung hat.
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Der Begriff der Ordung einer Nullstelle kann auf eine größere Klasse von Funktionen ausgedehnt werden.
So hat beispielsweise die Funktion
f (x)
= sin2(x)
bei jedem ganzzahligen Vielfachen von p eine Nullstelle
zweiter Ordnung. Allerdings gibt es auch Funktionen, deren Nullstellen nicht in dieses Schema
passen (Beispiel: die Betragsfunktion
f (x)
= |x|).
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Ordnung von Nullstellen, allgemein
(in Vorbereitung)
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Singularitäten und Pole
Ist eine reelle Funktion durch einen Term gegeben, so ist sie zunächst nicht unbedingt für
alle x Î R
wohldefiniert. Dabei können mehrere Dinge passieren.
- Es kann geschehen, dass ein Term an einer bestimmten Stelle nicht wohldefiniert ist,
aber durch eine nachträgliche Definition des fehlenden Funktionswerts zu einer
stetigen Funktion gemacht werden kann.
Wir sprechen dann von einer Definitionslücke, die "stetig geschlossen"
werden kann, oder einer hebbaren Singularität.
Ein Beispiel können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen.
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- Es kann aber auch geschehen, dass ein Term eine Unendlichkeitsstelle (Singularität) besitzt.
Das einfachste Beispiel ist 1/x.
Hier gibt es nichts zu rütteln - je näher
x der Zahl 0 kommt, umso
größer ist der Betrag von 1/x.
Die Stelle x = 0
gehört definitiv nicht zum Definitionsbereich (der also als
A = R \ {0}
angenommen werden kann).
Das wirft die Frage auf, wie sich eine Funktion in der Nähe einer
Unendlichkeitsstelle verhält (insbesondere "wie schnell" sie "gegen Unendlich geht").
Für rationale Funktionen, d.h. Quotienten zweier
Polynome (siehe unten), lässt sich diese Frage systematisch beantworten. Ist x0
eine Unendlichkeitsstelle der rationalen Funktion f,
so nimmt ihr Verhalten in der Nähe von x0
die Form
|
f (x) »
|
k
(x - x0) n
| für x » x0
|
| (5) |
an, wobei n eine natürliche Zahl und
k eine von Null verschiedene Konstante
ist.
x0 wird als
Pol (Polstelle) n-ter Ordnung
bezeichnet. Um eine Idee davon zu erhalten, warum das so ist, und um zu erfahren, wie man
n und k
für eine gegebene rationale Funktion ermittelt, klicken Sie auf den nebenstehenden Button.
Das Verhalten nahe einer Polstelle wird also an den (relativ einfachen) Funktionen der Form
1/(x-x0) n gemessen.
Je größer n ist, umso rasanter wächst der
Betrag der Funktion an, wenn sich x der
Polstelle x0 nähert. Ist n gerade, so
hat die Funktion auf beiden Seiten der Polstelle das gleiche Vorzeichen
(wie es für die Funktion 1/x2 der Fall ist),
und der Graph zeigt zwei "Äste", die an der Polstelle
entweder beide nach oben oder beide nach unten "bis ins Unendliche" reichen.
Ist n ungerade, so
sind die Vorzeichen auf beiden Seiten der Polstelle verschieden
(wie für die Funktion 1/x), und der
Graph sieht zerrissen aus: ein "Ast" steigt ins "positiv Unendliche" an,
während der andere nach "negativ Unendlich" absinkt.
Die Ordnung eines Pols kann mit der Ordnung einer Nullstelle in Zusammenhang gebracht werden:
Je schneller f in der Nähe eines Pols ansteigt,
um so schneller fällt 1/f dort gegen
Null ab. Vergleichen wir (5) mit (4), so ergibt sich:
f hat bei x0 einen Pol
n-ter Ordnung, wenn
1/f dort eine Nullstelle
n-ter Ordnung besitzt.
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| | |
Der Begriff des Pols kann auf eine größere Klasse von Funktionen ausgedehnt
werden. So hat beispielsweise die Tangensfunktion an der Stelle
p/2 einen Pol erster Ordnung.
- Es können auch ganz andere Dinge passieren, die sich allerdings nicht leicht
in ein einheitliches Schema bringen lassen und am Besten dann analysiert werden, wenn sie auftreten.
Ein Beispiel: 1/x + 1/|x|.
Sehen Sie sich den Graphen an, indem Sie
1/x + 1/abs(x) in den Funktions-Plotter eingeben,
und versuchen Sie, ihn auf Grund des ihn definierenden Terms zu verstehen!
(Tipp: Berechnen Sie den Funktionsterm separat für x < 0
und x > 0!)
Ein anderes Beispiel: sin(1/x) - sehen Sie sich auch deren Graphen an!
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Pol, allgemein
(in Vorbereitung)
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Asymptoten und asymptotisches Verhalten
Hat der Graph einer Funktion die Tendenz, einer Geraden
immer näher zu kommen, so wird diese Asymptote genannt.
Asymptoten treten auf,
- wenn das Verhalten einer Funktion für große Werte von
x (oder -x)
dem einer linearen Funktion immer ähnlicher wird und
- bei Unendlichkeitsstellen.
Im ersten Fall sprechen wir von der asymptotischen Annäherung einer Funktion (eines Graphen)
an eine lineare Funktion (eine Gerade).
Um die Idee auszudrücken, dass über das Verhalten einer Funktion für
große, über jede Schranke wachsende Werte der unabhängigen Variable
x gesprochen wird,
werden Formulierungen wie
- "für x
® ¥" (ausgesprochen
"für x gegen Unendlich") oder
- "für große x"
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verwendet. Soll speziell über ein Verhalten für unter jede Schranke fallende Werte von
x
(d.h. über jede Schranke wachsendes -x)
gesprochen werden, so steht die Formulierung
"für x
® -¥" (ausgesprochen
"für x gegen minus Unendlich")
zur Verfügung. Kommt es auf das Vorzeichen von x nicht
an, so wird das manchmal in der Form
"für große |x|"
oder "für |x|
® ¥"
ausgedrückt. Daneben gibt es noch die saloppe Formulierung "im Unendlichen" oder einfach das Wort "asymptotisch".
Wie die dahinter stehenden Ideen exakter formuliert werden können, ist Gegenstand anderer
Kapitel.
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® ¥
(in Vorbereitung)
asymptotisch
(in Vorbereitung)
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Achtung: Der Pfeil ® in einer Formulierung wie "für x
® ¥" hat mit dem
Pfeil in den Zuordnungvorschriften für Funktionen nichts zu tun! Diese zwei Arten von Pfeilen sollten
nicht miteinander verwechselt werden!
Beispiel: Wie verhält sich die durch
f (x) =
(2x2 - 3x + 4)/x
definierte Funktion für große x?
Wir formen um und schreiben den Funktionsterm als
2x - 3 + 4/x.
Je größer x ist, umso kleiner ist der letzte
Beitrag. Daher nähert sich f (x) für
x ® ¥
den Werten der linearen Funktion
g(x) =
2x - 3.
Deren Graph ist eine Gerade und stellt eine Asymptote von f dar.
Weiters hat f einen Pol bei
x = 0. Da sich der Graph dort
der y-Achse anschmiegt,
ist diese ebenfalls eine
Asymptote von f.
Um zu erfahren, wie man die Asymptoten einer gegebenen rationalen Funktion, d.h. eines Quotienten zweier
Polynome (siehe unten) systematisch bestimmt, klicken Sie auf den nebenstehenden Button.
Nicht nur rationale Funktionen können Asymptoten haben. So ist beispielsweise die durch die Gleichung
y = 2x
definierte Gerade eine Asymptote der Funktion
h(x) = 2x +
e-x,
da diese für x
® ¥ das Verhalten der linearen Funktion
k(x) = 2x annimmt.
Die Idee des "asymptotischen Verhaltens" lässt sich
noch weiter verallgemeinern und verfeinern: So kann etwa davon gesprochen werden, dass
(2 + e-x)/x2
für große x das gleiche
asymptotische Verhalten wie 2/x2 hat,
oder dass x2 + 1/x
im Unendlichen das Verhalten von x2 annimmt.
(Benutzen Sie den Funktions-Plotter, um sich die Graphen der hier
genannten Beispiele anzusehen).
Der Sinn solcher Aussagen ist es einerseits, das "globale" Verhalten von Funktionen in den Griff
zu bekommen, und andererseits, einfache und bekannte Funktionen
als Maßstab für das Verhalten komplizierterer Funktionen zu benutzen.
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Gleichung einer Geraden
(in Vorbereitung)
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Konvexitätsverhalten
Ein bisschen salopp ausgedrückt, nennen wir eine Funktion
f : R ® R
konvex (oder "nach oben offen"),
wenn jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten des Graphen von f an keiner Stelle
"unterhalb" dieses Graphen liegt.
Analog heißt eine Funktion
f : R ® R
konkav ("nach unten offen"),
wenn jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten des Graphen von f an keiner Stelle
"oberhalb" dieses Graphen liegt.
Die Bezeichnungen "unterhalb" und "oberhalb" beziehen sich auf das Koordinatensystem, in dem der
Graph einer Funktion betrachtet wird: ein Punkt liegt "oberhalb" eines anderen, wenn seine
y-Koordinate größer
ist. (Achtung: in der Literatur sind die beiden Begriffe manchmal in
vertauschter Bedeutung zu finden!)
Eine Funktion ist konvex, wenn die zu ihr negative Funktion konkav ist (und umgekehrt).
Diese beiden Begriffe lassen sich auch auf Funktionen übertragen, die nicht auf ganz
R, definiert sind,
wobei sie allerdings nur einen Sinn machen, wenn sie auf ein Intervall
(d.h. einen zusammenhängenden Bereich) bezogen werden.
Eine Funktion kann in verschiedenen Intervallen ihres Definitionsbereichs
verschiedenes Konvexitätsverhalten besitzen.
- Beispiele für konvexe Funktionen: x2, x4,
x3 im Bereich x ³ 0,
1/x im Bereich x > 0,
ex,
e-x,
|x|.
- Beispiele für konkave Funktionen: -x2,
x1/2 (in seinem Definitionsbereich
x ³ 0),
x3 im Bereich x £ 0,
1/x im Bereich x < 0,
ln x (in seinem Definitionsbereich
x > 0).
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Beschränktheit
Wir nennen eine Funktion
f : A ® R
nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl c
mit der Eigenschaft
gibt. c heißt dann obere Schranke.
Analog heißt f
nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl k
mit der Eigenschaft
gibt. k heißt dann untere Schranke.
Eine Funktion, die nach oben und nach unten beschränkt ist, wird
ohne weitere Angabe als beschränkt bezeichnet.
Der Graph einer nach oben (unten) beschränkten Funktion liegt immer unterhalb (oberhalb) einer
zur x-Achse parallelen Geraden.
Einige Beispiele:
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- Nach oben beschränkt:
-x2,
1 - x4.
- Nach unten beschränkt: x2,
x4 - 3,
ex,
|x|.
- Nach oben und unten beschränkt:
1/(x2 + 1),
sin x,
cos x.
|
Wir werden diesen Begriff in einem späteren Kapitel wieder aufnehmen und beispielsweise fragen, wann es
eine kleinste obere und eine größte untere Schranke gibt.
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mehr zur
Beschränktheit
(in Vorbereitung)
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Funktionen kombinieren
Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, Funktionen miteinander zu kombinieren:
- Summe, Differenz, Produkt, Quotient:
Was bedeutet es eigentlich, "zwei Funktionen zu addieren"?
Ist A Í R
und sind
f : A ® R
und
g : A ® R
zwei reelle Funktionen mit (dem selben) Definitionsbereich A, so kann aus ihnen eine dritte Funktion
f + g : A ® R
(ebenfalls mit Definitionsbereich A) durch
|
(f + g) (x)
= f (x)
+ g (x)
für alle x Î A
|
|
(8) |
definiert werden. Man sagt, dass die Summe zweier Funktionen punktweise
(d.h. für jeden "Punkt" x als
Summe der Funktionswerte von f und g) definiert ist.
In völlig analoger Weise kann die Differenz und das Produkt zweier Funktionen definiert werden.
Auf diese Weise wird die Menge aller Funktionen
A ® R
mit den "Rechenoperationen" Plus, Minus und Mal ausgestattet. Daher kann etwa auch
das Quadrat f 2 einer
Funktion f gebildet werden.
(In diesem Sinn ist ja auch üblich, sin2x
für (sin x)2 zu schreiben).
Beim Quotienten müssen wir ein bisschen
aufpassen, da wir ja nicht durch Null dividieren dürfen. Er kann punktweise als Funktion
f/g : B ® R
definiert werden, wobei
B = {
x Î A |
g(x)
¹ 0 }
ist.
- Verkettung (Hintereinander-Ausführen): Welche Struktur hat die durch den
Term sin(x2) definierte Funktion?
Sie wird auf ein x angewandt, indem
zuerst auf x die Funktion "Quadrieren" und
danach auf das Resultat
(also x2) die Funktion "Sinus" angewandt wird.
Analoges lässt sich auch mit anderen Funktionen machen:
Wird erst die Funktion g auf
x angewandt und danach
auf das Resultat die Funktion f, so
erhalten wir f (g(x)).
Die Funktion, die diese beiden Schritte kombiniert, heißt Verkettung
(manchmal auch Verknüpfung)
von f und g
und wird mit f o g bezeichnet:
Dabei muss der Wertebereich von g eine
Teilmenge des Definitionsbereichs von f
sein, da es ansonsten ein x gibt,
für das zwar g(x),
nicht aber
f (g(x))
nicht definiert ist.
Innerhalb der Menge aller Funktionen R ® R
darf beliebig verkettet werden. Die Verkettung ist eine "Operation", die, ähnlich wie die
Multiplikation, aus zwei Funktionen eine dritte macht, und wie die Multiplikation erfüllt sie das
so genannte "Assoziativgesetz"
|
f o (g o h)
=
(f o g) o h .
|
|
(10) |
Allerdings kommt es bei ihr auf die Reihenfolge an. f o g ist nicht dasselbe wie
g o f.
(Beispiel: sin2(x)
ist nicht dasselbe wie sin(x2)).
In der mathematischen Fachsprache heißt das:
Die Verkettung ist nicht "kommutativ".
Die Reihenfolge, in der die beiden Funktionen angewandt werden, läuft übrigens ein bisschen gegen unsere
Intuition: Trotz der Bezeichnung "f o g" wird zuerst g
und danach f angewandt. (Die
Gefahr, die Reihenfolge zu verwechseln, rührt daher, dass in der üblichen Schreibweise
"f (x)"
das Funktionssymbol f links von
x steht, in diesem Sinn also
Funktionen "von links" wirken).
Stellen wir die Wirkung einer Funktion f auf ein
Element x in der Form
dar, so kommt die Verkettung f o g so zustande:
In formaler Hinsicht lassen sich "Potenzen" von Verkettungen wie f o f definieren. Letzteres darf aber nicht
mit dem punktweise definierten Quadrat einer Funktion verwechselt werden:
Ist etwa f die Sinusfunktion, so ist
(f o f )(x)
= sin(sin(x)), während
f 2(x)
= sin2x ist.
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kommutativ
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| | |
Das alles ist wichtig, weil sich Funktionen, die durch längere Terme
dargestellt werden, als Verkettungen einfacherer Funktionen auffassen lassen.
Manche mathematischen Eigenschaften von Funktionen
lassen sich auf entsprechende Eigenschaften der Bestandteile zurückführen, wodurch
sich oft umständliche Rechnungen vermeiden lassen.
(Ein berühmtes Beispiel ist die in der Differentialrechnung auftretende "Kettenregel").
- Verschiebungen und Streckungen:
Nehmen Sie an, Sie haben die Eigenschaften einer Funktion f
anhand ihres Graphen studiert und kennen sie jetzt recht gut.
Dann bekommen Sie eine andere Funktion g vorgesetzt, die durch
g(x) =
f (x - 2)
definiert ist (also der Verkettung von f
mit der linearen Funktion
h(x)
= x - 2).
Können Sie auf Anhieb sagen, wie der Graph von g
aussieht? Die Antwort ist: Der Graph von g
geht aus dem Graphen von f hervor, indem
er um 2 nach "rechts" (in x-Richtung)
verschoben wird.
Wir fassen hier einige derartige Situationen zusammen:
|
Der Graph der Funktion
|
geht aus jenem von f hervor durch
|
|
g(x) =
f (x) + c
|
Verschiebung um c in y-Richtung.
|
|
g(x) =
f (x - c)
|
Verschiebung um c in x-Richtung.
|
|
g | |
